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抛物线斜率定理及运用 重庆市江津吴滩中学 周 勇 抛物线上某点的斜率是该点与抛物线的顶点的连线斜率的两倍。这是以前人们没有认识到的抛物线的一个重要性质。现简要证明如下： 命题：抛物线上某点的斜率是该点与抛物线的顶点的连线斜率的两倍。 证明：（一）对于抛物线  上任一点（x,y）的斜率可由对求导得到该处斜率： 。又的顶点为原点（0，0）。该点（x,y）与原点的连线斜率为： 。故有 。（二）我们知道，对于任意抛物线  ，其图象只是上下左右平移后形成的而已，其形状完全与一样。平移绝不会改变各处的斜率。同样，各点与顶点连线的斜率也不会改变。故对于任意抛物线，总有“抛物线上某点的斜率是该点与抛物线的顶点的连线斜率的两倍”这一性质成立。此性质暂可命名为“抛物线斜率定理”。 抛物线这一性质虽然简单，但也有其用处。物理上对平抛运动及类平抛运动的分析处理往往就可用上它。 例1．一带电粒子以初速度  横穿过宽度为L的匀强电场，沿电场方向偏移的距离为D。不计重力的作用，求该粒子飞出电场时的速度。解：带电粒子横穿电场作的是类平抛运动，其轨迹是抛物线。则有  可得： 。则： 。若不用“抛物线上某点的斜率是该点与抛物线的顶点的连线斜率的两倍”这一性质，此题的解法会复杂些，我们也可以来对比一下：  这四式联立方可解得 例2．不计空气的阻力。篮球的半径为R，投篮时篮球距篮圈水平距离为X，高为Y，设篮球出手速度足够大，则篮球出手角度为多大时球恰能越过篮圈，进入篮筐？ 解：篮球飞行路线为抛物线，要恰能越过蓝圈，顶点应在蓝圈边缘高出R处。设篮球出手角度为  ，根据抛物线斜率定理有： 可得： 此题若用平常的解法则应如下处理： 把初速度 分解为： 再由斜抛高度：  ；上抛时间  ；抛出点与最高点水平距离：  此五式联立解得： ，从而得到。可见，运用抛物线斜率定理来解决相关问题有时确有便捷之处。 (责任编辑：admin) |