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第二章《数列》测试题（一） 一、选择题 1.(2012安徽理)公比为  等比数列 的各项都是正数，且 ，则 ( ).A.4 B.5 C.6 D.7 考查目的：考查等比数列的通项公式与性质、对数的概念与运算等基础知识. 答案：B. 解析：∵ ，∴ ，∵的各项都是正数，∴ ，∴ ，∴ .2.(2011江西理)已知数列  的前 项和 满足： ，且 ，那么 ( ).A.1 B.9 C.10 D.55 考查目的：考查数列的递推公式、等差数列的概念及通项公式、  与的关系.答案：A 解析：令  ，得 ，∵ ，∴ ，∴ 是首项为 ，公差为的等差数列， ，因此， .3.(2011天津理)已知 为等差数列，其公差为 ，且 是 与 的等比中项，为的前项和， ，则 的值为( ).A.-110 B.-90 C.90 D.110 考查目的：考查等比中项的概念以及等差数列通项公式、前 项和公式的基本应用.答案：D 解析：设等差数列 的公差为 ，根据题意得 ，即 ，将 代入，并解得 ，所以 .4.(2012湖北理)定义在  上的函数 ，如果对于任意给定的等比数列，  仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数：① ；② ；③ ；④ .则其中是“保等比数列函数”的的序号为( ).A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 考查目的：本题考察等比数列的性质及函数计算. 答案：C. 解析：对于①，  ，所以是“保等比数列函数”； 对于②， ，所以不是“保等比数列函数”；对于③， ，所以是“保等比数列函数”；对于④， ，所以不是“保等比数列函数”.5.已知数列 满足 ，当 时， ，则 ( ).A.1 B.2 C.-1 D.-2 考查目的：考查数列递推公式的运用、周期数列的概念与判断，考查分析判断能力. 答案：A. 解析：由条件可得该数列为：  ，所以是周期为 的周期数列，所以 .6.(2012上海理)设  ， ，在 中，正数的个数是( ).A.25 B.50 C.75 D.100 考查目的：数列前 项和的概念、三角函数的周期性，考查综合运用知识分析问题解决问题的能力.答案：D. 解析：当  时， ；当 时， ，但其绝对值要小于时相应的值；当 时，；当 时，，但其绝对值要小于时相应的值；当 时， . ∴当 时，均有 .二、填空题 7.(2009北京理)已知数列 满足： ， ， ，，则 ______； _________.考查目的：考查数列的概念、周期数列等基础知识. 答案：1，0. 解析：依题意，得  ， .8.(2011湖北理)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升. 考查目的：考查等差数列的概念、基本运算以及运算能力. 答案：  .解析：记题中的等差数列为 ，公差为，前项和为. 根据题意知 ， ，两式联立解得 ， ，∴ .9.(2010天津文)设 是等比数列，公比 ，为的前项和.记 ，，设 为数列 的最大项，则 .考查目的：考查等比数列的前 项和公式及平均值不等式等基础知识，考查运算能力.答案：4. 解析：根据等比数列前 项和公式，得  .∵ ，当且仅当 ，即 时取等号，而 ，∴当时， 取最大值，即数列的最大项为 ，所以 .10.(2011江苏卷)设  ，其中 成公比为 的等比数列， 成公差为1的等差数列，则的最小值是________.考查目的：考查等差数列、等比数列的概念和通项公式，考查不等式的有关知识及推理判断能力. 答案：  .解析：由题意可得  ，∴ . ∵ ，∴当 取最小值时， ，∴ ，即的最小值是.11.(2012四川理)记  为不超过实数 的最大整数，例如， ， ， .设 为正整数，数列 满足 ， ，现有下列命题：①当 时，数列的前3项依次为5，3，2；②对数列都存在正整数 ，当 时总有 ；③当 时， ；④对某个正整数，若 ，则 . 其中的真命题有____________.(写出所有真命题的编号)考查目的：本题属于新概念问题，主要考查对新概念的理解、不等式的性质，以及数列知识的灵活运用和推理论证能力. 答案：①③④ 解析：易证，对于取整函数  有下列性质：性质1：当 时， ；性质2：对 ，有 ；性质3：若 ， ，则 . ①当时，  ， ，故①为真；②当 时，易知该数列为： (1与2交替出现)，所以②为假；③∵  ，∴ ；由题易知，对一切 ， 均为正整数，所以无论 是奇数还是偶数，均有  ，故③为真；④若对某个正整数，则由  ，得 ，∴ ，∵ 是正整数，∴ .又∵ ， ，∴ (或由③为真，及 ，直接可得)，故，因此④为真.(责任编辑：admin) |