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柯西不等式另两种形式的应用

http://www.newdu.com 2018-11-30 人民教育出版社 佚名 参加讨论

    柯西不等式另两种形式的应用
    广东省中山一中高中部 许少华
    柯西不等式是非常重要的不等式,它的应用很广泛、且应用过程也相当灵活,真正可以体现“数学是思维的体操”,本文介绍柯西不等式另两种形式的应用,供参考:
    1.柯西不等式的向量形式
    设是两个向量,则,当且仅当是零向量或存在实数,使时,等号成立;这是柯西不等式的向量形式,下面谈谈这一形式在解题中的应用。
    例1 已知,若恒成立,求的最大值。
    解析:设,由得:,即
    例2 设,求的最小值。
    解析:设
    由得:
    即,故的最小值为
    例3 求函数的最大值及最小值。
    解析:由原函数式得,设
    ,由
    故最大值及最小值分别为
    点评:对于上述三道例题都是通过构造向量,利用柯西不等式的向量形式完成求解的。恰当、合理的构造向量是求解的关键,有一定的灵活性,当然也有一定的难度,突破它要靠平时多留心、多积累。
    2.柯西不等式的三角形式
    设都是实数,则。此为柯西不等式的三角形式,可以借助三角形任意两边和大于第三边加以理解。下面谈谈这一形式在解题中的应用。
    例4 求函数的最小值。
    解析:由
    得
    
    点评:在应用三角形式求最小值时,我们要注意两点:①在使用公式过程中,要能够抵消变量;②要尽可能的使定值最大。比如本题若变成虽产生结论,但“2”并不是最小值。
    例5 求函数的最大值;
    解析:由三角形式稍作变化,即得
    由于
    
    点评:在应用三角形式求最大值时,我们也要注意两点:①在使用公式过程中,要能够抵消变量;②要尽可能的使定值最小。比如本题若变成虽产生结论,但并不最大值。
    至此,我们看出了柯西不等式另两种形式的应用,也许对你以后的解题会有所启发,使你的解题思路就得格外活跃。
     (责任编辑:admin)
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