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柯西不等式另两种形式的应用 广东省中山一中高中部 许少华 柯西不等式是非常重要的不等式，它的应用很广泛、且应用过程也相当灵活，真正可以体现“数学是思维的体操”，本文介绍柯西不等式另两种形式的应用，供参考： 1.柯西不等式的向量形式 设  是两个向量，则 ，当且仅当 是零向量或存在实数 ，使 时，等号成立；这是柯西不等式的向量形式，下面谈谈这一形式在解题中的应用。 例1 已知  ，若 恒成立，求的最大值。解析：设  ，由得： ，即 。例2 设  ，求 的最小值。解析：设  。由 得： ，即  ，故 的最小值为 。例3 求函数  的最大值及最小值。解析：由原函数式得  ，设  ，由 得 ，故最大值及最小值分别为  与 。点评：对于上述三道例题都是通过构造向量，利用柯西不等式的向量形式完成求解的。恰当、合理的构造向量是求解的关键，有一定的灵活性，当然也有一定的难度，突破它要靠平时多留心、多积累。 2.柯西不等式的三角形式 设  都是实数，则 。此为柯西不等式的三角形式，可以借助三角形任意两边和大于第三边加以理解。下面谈谈这一形式在解题中的应用。 例4 求函数  的最小值。解析：由 ，得  ， 。点评：在应用三角形式求最小值时，我们要注意两点：①在使用公式过程中，要能够抵消变量；②要尽可能的使定值最大。比如本题若变成  虽产生结论，但“2”并不是最小值。例5 求函数  的最大值；解析：由三角形式稍作变化，即得  ，由于   。点评：在应用三角形式求最大值时，我们也要注意两点：①在使用公式过程中，要能够抵消变量；②要尽可能的使定值最小。比如本题若变成  虽产生结论，但 并不最大值。至此，我们看出了柯西不等式另两种形式的应用，也许对你以后的解题会有所启发，使你的解题思路就得格外活跃。 (责任编辑：admin) |