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圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用

http://www.newdu.com 2018-11-30 人民教育出版社 佚名 参加讨论

    圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用
    湖北省阳新县高级中学 邹生书
    如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点,则称此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率(或倾斜角)、定比分点(向量)、焦半径和焦点弦长等有关知识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”,集数学知识、思想方法和解题策略于一体,倍受命题人青睐,在近几年的高考中频频亮相,题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题,也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用,与大家交流。
    定理1  已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点,过点的弦的焦点所在的轴的夹角为,且。(1)当焦点内分弦时,有;(2)当焦点外分弦时(此时曲线为双曲线),有
    证明  设直线是焦点所对应的准线,点在直线上的射影分别为,点在直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得,,又,所以
    (1)       当焦点内分弦时。
    如图1,,所以
    
    图1
    (2)       当焦点外分弦时(此时曲线为双曲线)。
    如图2,,所以
    
    图2
    评注  特别要注意焦点外分焦点弦(此时曲线为双曲线)和内分焦点弦时公式的不同,这一点很容易不加区别而出错。
    1(2009年高考全国卷Ⅱ理科题)已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交两点。若,则的离心率为( )
                
      这里,所以,又,代入公式得,所以,故选
    2(2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题)已知椭圆的离心率为。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点,若,则(   )
                
      这里,设直线的倾斜角为,代入公式得,所以,所以,故选
    3 (08高考江西卷理科第15题)过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,与抛物线交于两点(点轴左侧),则有____
    
    图3
     如图3,由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角,当点轴左侧时,设,又,代入公式得,解得,所以
    4 (2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题)已知是椭圆的一个焦点,是短轴的一个端点,线段的延长线交于点,且,则的离心率为___
      设直线与焦点所在的轴的夹角为,则,又,代入公式得,所以
    5(自编题)已知双曲线的离心率为,过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点。若,则___
      这里,因直线与左右两支相交,故应选择公式,代入公式得,所以所以,所以
    定理2  已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线,焦准距(焦点到对应准线的距离)为。过点的弦与曲线的焦点所在的轴的夹角为,则有
    证明  设点在准线上的射影分别为,过点作轴的垂线交直线于点,交直线于点。由圆锥曲线的统一定义得,,所以
    
    图4
    (1)当焦点内分弦时。如图4,
    所以较长焦半径,较短焦半径
    所以
    (2)当焦点外分弦时(此时曲线为双曲线)。
    
    图5
    如图5,
    所以
    所以较长焦半径,较短焦半径
    所以
    综合(1)(2)知,较长焦半径,较短焦半径。焦点弦的弦长公式为
    特别地,当曲线为无心曲线即为抛物线时,焦准距就是径之半,较长焦半径,较短焦半径,焦点弦的弦长公式为。当曲线为有心曲线即为椭圆或双曲线时,焦准距为
      由上可得,当焦点内分弦时,有 。当焦点外分弦时,有
    6 (2009年高考福建卷理科第13题)过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,交抛物线于两点,若线段的长为8,则___
      由抛物线焦点弦的弦长公式为得,,解得
    7(2010年高考辽宁卷理科第20题)已知椭圆的右焦点为,经过且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点,已知
    (1)求椭圆的离心率;(2)若,求椭圆方程。
      (1)这里,由定理1的公式得,解得
    (2)将,代入焦点弦的弦长公式得,,解得,即,所以①,又,设,代入①得,所以,所以,故所求椭圆方程为
    8(2007年重庆卷第16题)过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线,交双曲线于两点,则的值为___
      易知均在右支上,因为,离心率,点准距,因倾斜角为,所以。由焦半径公式得,
    
    9 (由2007年重庆卷第16题改编)过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线,交双曲线于两点,则的值为___
      因为,离心率,点准距,因倾斜角为,所以。注意到分别在双曲线的两支上,由焦半径公式得,
    10  (2007年高考全国卷Ⅰ)如图6,已知椭圆的左、右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点,过的直线交椭圆于两点,且。求四边形面积的最小值。
    
    图6
      由方程可知,,则
    设直线轴的夹角为,因为,所以直线
    的夹角为。代入弦长公式得,
    。故四边形的面积为,
    所以四边形面积的最小值为
    参考文献:
    ①郑丽兵。一道解析几何调研题的解答、拓广与应用。数学通讯。2010(11、12)(上半月)。
    ②玉邴图。两道高考题的统一推广。数学通讯。2010(11、12)(上半月)。
    ③万尔遐。曲线  何必与方程捆绑。数学通讯。2010(6)(下半月)。
     (责任编辑:admin)
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