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三角形内角关系应用举例 内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中 熊明军 三角形是平面几何中很常见的图形，一个三角形包含三个边及三个内角两类六要素。因此，从这两类要素出发，我们可以对三角形进行下列情况的研究：三角形边的关系、三角形内角的关系及三角形边与内角的关系。在数学中，这是很大一块儿内容，从小学到初中再到高中，无论在几何中，还是在代数中，我们都没有停止过对这些内容的学习，并且随着新的数学工具与方法的引入在逐渐加深，显现她永不暗淡的智慧亮点。 由于水平有限，本文只针对三角形中三个内角的一些关系，结合具体题目谈一些方法，抛砖引玉。更加深入全面的研究，则需要各位读者去探索、去寻找。 一、任意  中， （三角形内角和定理）这是我们很早就知道的三角形三个内角的关系，但凡遇到有关三角形的问题，这个关系都是必须要首先考虑的内容。由它还可以引出下面几个常用的三角形三内角的关系： ①任意三角形的三内角满足等式  ；②任意三角形的三内角范围是  ；③等边三角形的三内角都相等，且  ；④任意三角形的最大内角范围是  。（证明如下）【证明】设 三内角为 ，且 是最大内角，显然 ，则可推断：因为 ，所以 。二、任意 中， 【例题】 三内角的对边分别为 ，条件“ ”是使“  ”成立的_________条件（充分不必要、必要不充分、充要）。【解析】根据大边对大角原则，由边的大小关系得出角的大小关系，然后利用余弦函数的单调性证明。 （充分性）  ，在中三个内角的范围是 ，余弦函数 时是一个减函数，所以 。（必要性）在 中三个内角的范围是，余弦函数时是一个减函数，所以 。【例题】 三内角的对边分别为， \， 。若的最短边长为 ，求该三角形的最长边长。【解析】由角的大小关系可得出边的大小关系，但从所给函数值来看，本题中三角形内角是不容易求出的非特殊角，如此，我们就通过内角的函数值来确定边的大小关系，然后求解。 在 中三个内角的范围是，由\，知， 都是锐角。由于不是特殊角，要确定边的大小关系，必须知道内角函数值的大小关系，则由  得， ；由 得， ；又，所以 。因为  所以 。因此可知最短边为  ，最长边为 ；由正弦定理 。三、任意 中， 【例题】在 中， \， ，求 。【解析】由所给内角  的函数值无法确定角 的范围，便无法确定的取值。①解法一：首先求出  的值，然后判断 的符号，若 能够成一个三角形（是的三内角）。②解法二：在 中， 必定存在，要求，显然 。由  或 ；由 。首先是对是否有解情况的判断： .当 ，时， ，有解； .当 ，时， ，无解（舍掉）；然后利用，当，时得 。四、任意 中， 这个关系其实就是三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边结合正弦定理得到的。 【证明】设 三内角的对边分别为，显然有 。由正弦定理可得。五、在 中， 【例题】在不等边 中三内角的对边分别为，且 是最大边，如果 ，求的取值范围。【解析】在 中，最大内角的范围是，在此基础上结合条件便可轻易断定。因为 是最大边，所以可以知道的最大内角为，显然， ；又  是锐角。综上所述，可以断定  。六、在锐角 中， 【例题】锐角 的三个内角分别记为，已知向量 ，向量 ，试证明 与 夹角为锐角。【解析】要证明 与夹角为锐角，只需证明 ，即 。       由 是锐角三角形得 显然  ，则 与夹角为锐角。(责任编辑：admin) |