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导数、函数变化状态表所展示的函数信息 熊明军 给定一个函数  ，则该函数解析式包含的信息有函数的定义域，值域，对称性，奇偶性，单调性，周期性，极值，最值与函数图象等。在高中阶段的新教材中，导数是我们研究函数性质的重要工具。利用导数工具分析和解决一些函数问题的方法，是传统教材无法比拟的。 当自变量  变化时，导数 及函数 也将随之变化，如果将 及列在一个表中，则得到一导数、函数的变化状态表。本文就围绕导数、函数的变化状态表来解读给定函数所包含的相关性质的信息。例 研究已知函数  的性质。解析：显然该函数的定义域为  ，至于其余的相关性质就不是那么容易看出。我们不妨列出随变化的 变化状态表细致研究一下。①区间划分：解  得 ，则划分区间
②导数变化：利用零点穿线法解  得导数符号为
③当 变化时，的变化状态表：
由上表可得到的函数 信息有：（1）由 与知函数单调区间：单调增区间 和 ，单调减区间 ；（2）由 与知函数极值点：极小值点为 ，极大值点为 ；（3）由 与知函数极值：极小值为 ，极大值为 ；（4）由 与知该函数没有最值；（5）由 与知函数图像：草图—大致图像为 （6）由图像可知函数除上述已给出的其余性质：值域，对称性，奇偶性等。 练习：研究函数  的性质。解析：显然函数定义域为  ，借助的变化状态表研究给定函数的性质。解  得 ，且 是该函数的不可导点（ 无意义）。列的变化状态表：
由上表可得到的函数 信息有：（1）由 与知函数单调区间：单调减区间 和 ，单调增区间 ；（2）由 与知函数极值点：无极小值点，极大值点为 ；（3）由 与知函数极值：无极小值，极大值为 ；（4）由 与知函数最值：在 上有最大值为，在无最值；（5）由 与知函数图像：草图—大致图像为 （6）由图像可知函数除上述已给出的其余性质：值域，对称性，奇偶性等。 点评：借助图象能直观地展示函数的性质，而从导数 、函数变化状态表中，根据划分的区间一栏及一栏可以很容易做出草图，更便于研究非初等函数性质。(责任编辑：admin) |
