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由圆类比出有心曲线的几个性质 湖北省阳新县高级中学 邹生书 波利亚说：“类比是一个伟大的引路人”， “类比是获得发现的伟大源泉”．类比在科学创造的发明与发现中有着十分广泛的应用．毫不例外，在数学领域中也有着广泛的应用．数学中应用类比方法的关键，是要善于发现两个不同数学对象在空间形式或数量关系之间的“相似”， 而这种“相似”并不是简单的模仿和复制，而是富有创造性的设想和探究． 在有心圆锥曲线中，圆是最简单的图形，本文笔者借助类比从圆中我们熟悉的几个性质出发，类比出椭圆、双曲线的几个类似性质． 1．我们知道：若  是 的任意一条直径，点 是圆上任意一点， 则 ，若直线 的斜率都存在，则 ．怎样将此性质类比到椭圆上呢？若 是椭圆 的任意一条直径，点是椭圆上任意一点，显然 ；若直线的斜率都存在，显然 ，那么 是否为定值呢？设  ，因为是椭圆的直径，所以点 的坐标为 ，所以 ．又因为点在椭圆上，所以有 ，两式相减得， ，所以 ，所以 ．于是有如下结论：性质1.1 已知 是椭圆的直径，点是椭圆上任意一点，若直线的斜率都存在，则．同理可证双曲线也有如下类似性质： 性质1.2 已知 是双曲线 的直径，点是双曲线上任意一点，若直线的斜率都存在，则 ．2．我们知道：若直线  与相切于点，则有 ，若直线 的斜率都存在，则 ．如何将此性质成功类比到椭圆呢？若直线 与椭圆相切于点，显然不成立；若直线的斜率都存在，显然．那么 是否为定值呢？设  ，则切线的方程为： ，所以 ，又 ，所以 ，于是有如下结论：性质2.1 若直线 与椭圆相切于点，且直线的斜率都存在，则有 ．同理可证双曲线也有如下类似性质： 性质2.2 若直线 与双曲线相切于点，且直线的斜率都存在，则有．3．我们又知道：若 是的非直径的弦，点是弦的中点，则有则有 ，若直线 的斜率都存在，则 ．将此性质类比到椭圆、双曲线有如下性质： 性质3.1 若 是椭圆上的非直径的弦，点是弦的中点，且直线的斜率都存在，则 ．证明 设  ，则有 ①， ②， ，将①式减②式得， ，所以 所以 ，即．性质3.2 若 是双曲线上的非直径的弦，点是弦的中点，若直线的斜率都存在，则 ．4．我们还知道：已知  是的两条半径，圆在 两点处的切线相交于点，（1）若 ，则 ，若直线的斜率都存在，则；（2）若 ，则．将此性质类比到椭圆、双曲线可得如下性质： 性质4.1 已知 是椭圆的两条半径，椭圆在两点处的切线相交于点，且直线 的斜率都存在，则 ．证明 因为直线 的斜率都存在，设 ，则椭圆在点 处的切线方程为 ，所以 ，设 ，同理可得椭圆在点处的切线斜率为 ，所以 ．因为所以 ，即 ，从而 ．性质4.2 若 是双曲线的两条半径，双曲线在两点处的切线相交于点．（1）若，且直线的斜率都存在，则 ；（2）若，则．下面我们以2010年高考题为例来说明本文类比得到的性质在解题中的应用． 例1 (2010年高考宁夏卷理科第12题)已知双曲线  的中心为原点, 是的焦点,过 的直线 与相交于两点,且的中点为 ,则的方程为（ ）    解 设曲线方程为  , ， ，由本文性质3.2有 ，所以 ，又因为 ，所以 ，联立解得 ，故所求曲线的方程为 ，故应选．例2（2010年安徽高考理科第19题）已知椭圆 经过点 ，对称轴为坐标轴，焦点 在 轴上，离心率 ．（Ⅰ）求椭圆 的方程；（Ⅱ）求  角平分线所在直线方程；（Ⅲ）在椭圆 上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．解（Ⅰ）易求得椭圆 的方程为 （过程略）；（Ⅱ）可求得直线 的方程为 （过程略）；（Ⅲ）假设存在这样的两个不同的点  ，设 中点为．因为 ，所以 ，又 ，由本文性质3.1得， ，即 ，也就是 ①，又点在直线上，所以有 ②，联立①②解得 ，所以中点就是点，因点在椭圆上，而弦的中点不可能在椭圆上，故不存在关于直线对称的相异两点．参考文献： 邹生书．有心曲线与直径相关的切线性质．河北理科教学研究．2010（5） (责任编辑：admin) |