|
高中数学竞赛讲义（十六） ──平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理 设  分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，则 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若 则三点共线。塞瓦定理 设 分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若 三线平行或共点，则塞瓦定理的逆定理 设 分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。角元形式的塞瓦定理 分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共点的充要条件是 广义托勒密定理 设ABCD为任意凸四边形，则AB?CD+BC?AD≥AC?BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设P为ΔABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有 AP2=AB2?  +AC2? -BP?PC.西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴） 欧拉定理 ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且  二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC中，∠ABC=700，∠ACB=300，P，Q为ΔABC内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求证：A，P，Q三点共线。 [证明] 设直线CP交AQ于P1，直线BP交AQ于P2，因为∠ACP=∠PCQ=100，所以  ，①在ΔABP，ΔBPQ，ΔABC中由正弦定理有 ，② ，③ ④由②，③，④得  。又因为P1，P2同在线段AQ上，所以P1，P2重合，又BP与CP仅有一个交点，所以P1，P2即为P，所以A，P，Q共线。2．面积法。 例2 见图16-1，◇ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，且BE=DF，BE交DF于P，求证：AP为∠BPD的平分线。 [证明] 设A点到BE，DF距离分别为h1,h2，则  又因为  S◇ABCD=SΔADF，又BE=DF。所以h1=h2，所以PA为∠BPD的平分线。 3．几何变换。 例3 （蝴蝶定理）见图16-2，AB是⊙O的一条弦，M为AB中点，CD，EF为过M的任意弦，CF，DE分别交AB于P，Q。求证：PM=MQ。 [证明] 由题设OM  AB。不妨设 。作D关于直线OM的对称点 。连结  ，则 要证PM=MQ，只需证 ，又∠MDQ=∠PFM，所以只需证F，P，M，共圆。因为∠  =1800- =1800-∠ =1800-∠ 。（因为 OM。AB//）所以F，P，M， 四点共圆。所以Δ ≌ΔMDQ。所以MP=MQ。例4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为1995，而且每个三角形三个顶点同色。 [证明] 在平面上作两个同心圆，半径分别为1和1995，因为小圆上每一点都染以红、蓝两色之一，所以小圆上必有五个点同色，设此五点为A，B，C，D，E，过这两点作半径并将半径延长分别交大圆于A1，B1，C1，D1，E1，由抽屉原理知这五点中必有三点同色，不妨设为A1，B1，C1，则ΔABC与ΔA1B1C1都是顶点同色的三角形，且相似比为1995。 4．三角法。 例5 设AD，BE与CF为ΔABC的内角平分线，D，E，F在ΔABC的边上，如果∠EDF=900，求∠BAC的所有可能的值。 [解] 见图16-3，记∠ADE=α，∠EDC=β， 由题设∠FDA=  -α，∠BDF=-β，由正弦定理：  ，得  ，又由角平分线定理有  ，又 ，所以 ，化简得  ，同理 ，即 所以  ，所以sinβcosα-cosβsinα=sin(β-α)=0.又-π<β-α<π,所以β=α。所以  ，所以A= π。5．向量法。 例6 设P是ΔABC所在平面上的一点，G是ΔABC的重心，求证：PA+PB+PC>3PG. [证明] 因为  ，又G为ΔABC重心，所以 （事实上设AG交BC于E，则  ，所以 ）所以  ，所以 又因为  不全共线，上式“=”不能成立，所以PA+PB+PC>3PG。6．解析法。 例7 H是ΔABC的垂心，P是任意一点，HL PA，交PA于L，交BC于X，HMPB，交PB于M，交CA于Y，HNPC交PC于N，交AB于Z，求证：X，Y，Z三点共线。[解] 以H为原点，取不与条件中任何直线垂直的两条直线为x轴和y轴，建立直角坐标系，用(xk,yk)表示点k对应的坐标，则直线PA的斜率为  ，直线HL斜率为 ，直线HL的方程为x(xP-xA)+y(yP-yA)=0.又直线HA的斜率为  ，所以直线BC的斜率为 ，直线BC的方程为xxA+yyA=xAxB+yAyB,②又点C在直线BC上，所以xCxA+yCyA=xAxB+yAyB.同理可得xBxC+yByC=xAxB+yAyB=xAxC+yAyC. 又因为X是BC与HL的交点，所以点X坐标满足①式和②式，所以点X坐标满足xxP+yyP=xAxB+yAyB.④同理点Y坐标满足xxP+yyP=xBxC+yByC.⑤点Z坐标满足xxP+yyP=xCxA+yCyA. 由③知④，⑤，⑥表示同一直线方程，故X，Y，Z三点共线。 7．四点共圆。 例8 见图16-5，直线l与⊙O相离，P为l上任意一点，PA，PB为圆的两条切线，A，B为切点，求证：直线AB过定点。 [证明] 过O作OC l于C，连结OA，OB，BC，OP，设OP交AB于M，则OPAB，又因为OAPA，OBPB，OCPC。所以A，B，C都在以OP为直径的圆上，即O，A，P，C，B五点共圆。 AB与OC是此圆两条相交弦，设交点为Q， 又因为OP AB，OCCP，所以P，M，Q，C四点共圆，所以OM?OP=OQ?OC。 由射影定理OA2=OM?OP，所以OA2=OQ?OC，所以OQ=  （定值）。所以Q为定点，即直线AB过定点。 三、习题精选 1．⊙O1和⊙O2分别是ΔABC的边AB，AC上的旁切圆，⊙O1与CB，CA的延长线切于E，G，⊙O2与BC，BA的延长线切于F，H，直线EG与FH交于点P，求证：PA BC。2．设⊙O的外切四边形ABCD的对角线AC，BD的中点分别为E，F，求证：E，O，F三点共线。 3．已知两小圆⊙O1与⊙O2相外切且都与大圆⊙O相内切，AB是⊙O1与⊙O2的一条外公切线，A，B在⊙O上，CD是⊙O1与⊙O2的内公切线，⊙O1与⊙O2相切于点P，且P，C在直线AB的同一侧，求证：P是ΔABC的内心。 4．ΔABC内有两点M，N，使得∠MAB=∠NAC且∠MBA=∠NBC，求证：  5．ΔABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF相交于点H，直线ED和AB相交于点M，直线FD和AC相交于点N，求证：（1）OB DF，OCDE；（2）OHMN。6．设点I，H分别是锐角ΔABC的内心和垂心，点B1，C1分别是边AC，AB的中点，已知射线B1I交边AB于点B2(B2≠B)，射线C1I交AC的延长线于点C2，B2C2与BC相交于点K，A1为ΔBHC的外心。试证：A，I，A1三点共线的充要条件是ΔBKB2和ΔCKC2的面积相等。 7．已知点A1，B1，C1，点A2，B2，C2，分别在直线l1,l2上 ，B2C1交B1C2于点M，C1A2交A1C2于点N，B1A2交B2A1于L。求证：M，N，L三点共线。 8．ΔABC中，∠C=900，∠A=300，BC=1，求ΔABC的内接三角形（三个顶点分别在三条边上的三角形）的最长边的最小值。 9．ΔABC的垂心为H，外心为O，外接圆半径为R，顶点A，B，C关于对边BC，CA，AB的对称点分别为 ，求证：三点共线的充要条件是OH=2R。本系列讲座由在人教中数论坛网友“0.1”整理提供，感谢他（她）的分享。 (责任编辑：admin) |