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整数的性质及其应用（2） 基础知识 最大公约数与最小公倍数是数论中的一个重要的概念，这里我们主要讨论两个整数互素、最大公约数、最小公倍数等基本概念与性质。 定义1.（最大公约数）设  不全为零，同时整除的整数（如 ）称为它们的公约数。因为不全为零，故只有有限多个，我们将其中最大一个称为的最大公约数，用符号（）表示。显然，最大公约数是一个正整数。当（ ）＝1（即的公约数只有）时，我们称 与 互素（互质）。这是数论中的非常重要的一个概念。同样，如果对于多个（不全为零）的整数  ，可类似地定义它们的最大公约数（）。若（）＝1，则称互素。请注意，此时不能推出两两互素；但反过来，若（）两两互素，则显然有（）＝1。由最大公约数的定义，我们不难得出最大公约数的一些简单性质：例如任意改变 的符号，不改变（）的值，即 ；（）可以交换，（）＝（ ）；（）作为的函数，以为周期，即对于任意的实数 ，有（ ）＝（）等等。为了更详细地介绍最大公约数，我们给出一些常用的一些性质：（1）设 是不全为0的整数，则存在整数 ，使得 ；（2）（裴蜀定理）两个整数 互素的充要条件是存在整数，使得 ；事实上，条件的必要性是性质（1）的一个特例。反过来，若有 使等式成立，不妨设 ，则 ，故 及 ，于是 ，即 ，从而 。（3）若  ，则 ，即的任何一个公约数都是它们的最大公约数的约数；（4）若  ，则 ；（5）若 ，则 ，因此两个不互素的整数，可以自然地产生一对互素的整数；（6）若  ，则 ，也就是说，与一个固定整数互素的整数集关于乘法封闭。并由此可以推出：若 ，对于 有 ，进而有对 有 。（7）设  ，若 ，则 ；（8）设正整数 之积是一个正整数的 次方幂（ ），若（）＝1，则都是整数的次方幂。一般地，设正整数之积是一个正整数的次方幂（），若两两互素，则都是正整数的次方幂。定义2.设 是两个非零整数，一个同时为倍数的数称为它们的公倍数，的公倍数有无穷多个，这其中最小的一个称为的最小公倍数，记作 ，对于多个非零实数，可类似地定义它们的最小公倍数［］。最小公倍数主要有以下几条性质： （1） 与的任一公倍数都是的倍数，对于多于两个数的情形，类似结论也成立；（2）两个整数 的最大公约数与最小公倍满足： （但请注意，这只限于两个整数的情形，对于多于两个整数的情形，类似结论不成立）；（3）若 两两互素，则［］＝｜｜；（4）若  ，且两两互素，则｜ 。典例分析 例1． 设 是正整数， 且 ，它们的最小公倍数是最大公约数的120倍，求。解：设  ，则 ，其中 且 ，于是 。所以  即  由 及（2）可得：    。由（1）可知只能取  从而  或29，故 或 。例2．设  ， ，则 。证明：设  ，则 ， ，其中 。于是，已知条件转化为  ，故更有  ，从而转化为  ，但是 ，故  ，结合，知必有  ，同时 ，因此。例3．设正整数  的最大公约数是1，并且 ，证明 是一个完全平方数。证明：设 ，则 ， ，其中 ，由于 ，故，现在问题中的等式可以转化为 ①由此可见  整除 。因为，故 ，同样可得 ，再由便可以推出 。设 ，其中是一个正整数。一方面，显然整除 ；另一方面，结合①式，得  ，故 ，从而 ，但 ，故 。因此，  ，故 ，这样就证明了是一个完全平方数。例4． 都是正整数，是否存在整数 使得对任意的正整数 ， 与 互质？解：令  ， ，则 ，于是存在整数使得 ，令  ，则对任意的正整数，设 ，有 即  ，而 ， ，所以 ，即对任意的正整数，（，）＝1。例5． 已知  ，证明：对于任意的正整数 ，都有  两两互素。（2002年克罗地亚竞赛试题）证明：设  （其中 出现次）。由 ，故对于 有 ，则 是含有0次项 的多项式。因此， 除以 的余数为1。设整数 可整除 和 ，又 ＝ ，则当 除以时余数为1，即＝ ＋1。所以，矛盾！从而可知 两两互素。例6．求出所有的正整数对  ，使得 是一个整数。（2006年山东省第二届夏令营试题）解：由于  且   ，所以 是对称的。不妨设 。当 时，则 ，从而＝2；当  时，若 时，则有 ，所以 或3；若  时，由于是一个整数，从而 使得 即    ，所以 ＜ 。又由于 ， ，所以。所以  ，从而  得 或3，所以 ；综上知所有的 为（2,2）,(2,1),(1,2),(3,1),(1,3),(5,2),(2,5),(5,3),(3,5).例7．已知  ，且 ，试问 的充要条件是 分析：因为  ，所以  ；又  ，所以  ；令  ，则有     又因为  ，所以  从而上式  且 为奇数，即的充要条件是且 为奇数。例8．我们知道  有1个质因子，且 ； 有2个质因子，且  ……………… 如此下去，我们可以猜想：   至少有个质因子，且 。试证明之。证明：令  ＝，则＝ ，即要证 是整数且有 个质因子。下用数学归纳法证明是整数。 时，结论显然；假设  时，成立；当 ＋1时，因为 (－1)3+1=3－32＋3；因为  ，所以  ，即 是整数。下证 至少有个质因子。 ＝3－32＋3＝( )3－3()2＋3().因为 ＝( )，令 ，则＝ 由于( ,3)=1，所以(,)=1，从而必有异于质因子的质因子，所以 至少有个质因子。 (责任编辑：admin) |