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运用米勒定理简解最大角问题 湖北省阳新县高级中学 邹生书 1.米勒问题和米勒定理 1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下： 米勒问题：已知点  是角MON的边 上的两个定点，点 是边 上的动点，则当在何处时，角ACB最大？对米勒问题有如下重要结论我们不妨称之为米勒定理。 米勒定理：已知点 是角MON的边上的两个定点，点是边上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边相切于点时，角ACB最大。证明：如图1，设  是边上不同于点的任意一点，连结 ，因为角AC／B是圆外角，角ACB是圆周角，易证角AC／B小于角ACB，故角ACB最大。 图１ 根据切割线定理得，  ，即 ，于是我们有：角ACB最大等价于三角形ABC的外圆与边相切于点等价于等价于。2.米勒定理在解题中的应用 最大视角问题在数学竞赛、历届高考和模拟考试中频频亮相，常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。下面举例说明米勒定理在解决最大角问题中的应用。 2.1用米勒定理确定最大视角的点的位置 例1（1986年全国高考数学试题理科第五大题）如图2，在平面直角坐标系中，在  轴的正半轴上给定两定点，试在 轴的正半轴上求一点，使 取得最大值。 图２ 分析：这是一道较早的“米勒问题”的高考题，该题背景简单解题思路入口宽解法多样，是一道难得的好题。若用米勒定理求解则可一步到位，轻而易举地拿下此题。 简解：设  ，由米勒定理知，当且仅当 时，最大，故点的坐标为 。例2 如图3，足球场长100米，宽60米，球门长7.2米,有一位左边锋欲射门,应在边  的何处才使射门角度最大? 解：依题意  ，由米勒定理知当 （米） 时， 最大。故边锋应在边距约 米处射门才能使射门角度最大。  图3 图4  图5 例3（2004年全国数学竞赛试题）在直角坐标系中，给定两点  ，在轴的正半轴上求一点 ，使 最大，则点的坐标为＿＿＿＿。解：如图4，设直线  与轴相交于点 ，则 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，由两点间的距离公式得 ，由米勒定理知，当且仅当 时，最大，此时点的坐标为 。2.2用米勒定理探索最大视角的条件 例4（2010年高考江苏理科第17题）某兴趣小组要测量电视塔  的高度 （单位： ），如示意图5，垂直放置的标杆 的高度 ，仰角 。（1）该小组已测得一组  的值，算出了 ，请据此算出的值；（2）若该小组分析若干测得的数据后，认为适当调查整标杆到电视塔的中距离  （单位：），使之差较大，可以提高测量精度。若电视塔的实际高度为 ，试问为多少时， 最大？解：（2）设  ，由米勒定理知，当且仅当 即 ①时， 最大。又由 得， ②，① ②得， ，将其代入①得， ，所以 ，故当 为 时，最大。点评：第（2）问以实际应用和平面几何为背景考查最大角问题，本解法以米勒定理和相似三角形等知识为突破口，结合方程思想求解，综合性强能力立意高有一定难度。 2.3用米勒定理求最大视角或其三角函数值 例5（2001年希望杯数学竞赛培训题）  是椭圆 的左右焦点， 是椭圆的准线，点 ， ，求 的最大值。解：如图6，易求得  ，不妨设为左准线交轴于点 ，则其方程为 ， ，由米勒定理知，当且仅当 时，最大。当最大值时， ，因为 ，由差角的正切公式得， ，所以最大值为 。 图6 更一般地我们有如下结论： 例6 设 是椭圆 的左右焦点，是椭圆准线上的动点， ，椭圆的离心率是 ，则 为锐角且 （当且仅当点到椭圆的长轴的距离为 时取等号）。证明：设准线交 轴于点，则 。由米勒定理知，当且仅当 时， 为锐角且最大。当最大值时， ，又 ，由差角的正切公式得，  ，所以  。故为锐角且（当且仅当点到椭圆的长轴的距离为时取等号）。点评：由例6结论知，当 取最大值时有 或 ，易求得最大值为。2.4用米勒定理求视角最大时有关线段之比 例7（2006年全国高中数学竞赛题）已知椭圆 的左右焦点是，点在直线 上，当 最大时，求 ： 。解：如图7，设直线与 轴相交于点 ， 图7 易求得  ，则 ，由米勒定理知，当且仅当  时，最大，此时 的外拉圆与直线相切于点，由弦切角定理得 ，又 ，所以 ，所以 。点评：本解法不仅用到米勒定理的结论，而且还要熟悉定理证明的几何背景及图形间的内在联系，用相似三角形对应边成比例求线段比，运算量小解法简单快捷。 2.5用米勒定理求视角最大时的综合问题 例8 设  是椭圆的短轴顶点， 是椭圆焦点 相应的长轴顶点。证明当且仅当椭圆为黄金椭圆（离心率 的椭圆）时， 最大，且最大角的正弦值为 。解：如图8，由米勒定理知，当且仅当  时，最大。故 ，所以 ，所以 ，即 ， 图8 即  ①，解得，故当且仅当椭圆为黄金椭圆时，最大。设  ， ，则  ，所以      。另外我们求最大角 的正弦值还可用正弦定理切入，在 中，由正弦定理得， ，下面解法同上，略。点评：本题以椭圆为载体，重点考查椭圆的离心率等有关知识，考查三角公式、恒等变形和推理论证能力。本解法在求最大角的正弦值时需要很强的化归意识，即要有明确的化简目标，先把用  表示正弦值转化为用离心率来表示，最终化成关于的一次式。这里充分利用①式的各种变式，进行恰到好处的恒等变形是本解法的巧妙之所在。本文案例启发我们在平时的解题教学中，要引导学生进行解题反思，总结解题规律、揭示问题本质、提炼思想方法、归纳一般性结论，并有意识地加以运用，这样学生的解题能力定可上一级台阶达到较高的层次。 (责任编辑：admin) |