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高中数学竞赛讲义（十一） ──圆锥曲线 一、基础知识 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即  (0<e<1).第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且a≠b。从原点出发的射线交圆c1于P，交圆c2于Q，过P引y轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。 2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为  (a>b>0)，参数方程为  （ 为参数）。若焦点在y轴上，列标准方程为  (a>b>0)。3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆 ，a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为  ，与右焦点对应的准线为 ；定义中的比e称为离心率，且 ，由c2+b2=a2知0<e<1.椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。 4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆  1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0, y0)的切线方程为  ；2）斜率为k的切线方程为  ；3）过焦点F2(c, 0)倾斜角为θ的弦的长为  。6．双曲线的定义，第一定义： 满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点P的轨迹； 第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。 7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为  ，参数方程为  （ 为参数）。焦点在y轴上的双曲线的标准方程为  。8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线 (a, b>0),a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为  离心率，由a2+b2=c2知e>1。两条渐近线方程为 ，双曲线与 有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线 ，F1（-c,0）, F2(c, 0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.2) 过焦点的倾斜角为θ的弦长是  。10．抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为  ，准线方程为 ，标准方程为y2=2px(p>0)，离心率e=1.11．抛物线常用结论：若P(x0, y0)为抛物线上任一点， 1）焦半径|PF|=  ；2）过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)； 3）过焦点倾斜角为θ的弦长为  。12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位置，（ρ，θ）称为极坐标。 13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若0<e<1，则点P的轨迹为椭圆；若e>1，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为  。二、方法与例题 1．与定义有关的问题。 例1 已知定点A（2，1），F是椭圆  的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。[解] 见图11-1，由题设a=5, b=4, c=  =3, .椭圆左准线的方程为 ，又因为 ，所以点A在椭圆内部，又点F坐标为（-3，0），过P作PQ垂直于左准线，垂足为Q。由定义知 ，则 |PF|=|PQ|。所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+ |PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM 左准线于M)。所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得  ，又x<0，所以点P坐标为 例2 已知P，  为双曲线C：右支上两点， 延长线交右准线于K，PF1延长线交双曲线于Q，（F1为右焦点）。求证：∠F1K=∠KF1Q. [证明] 记右准线为l，作PD l于D， 于E，因为 //PD，则 ，又由定义 ，所以 ，由三角形外角平分线定理知，F1K为∠PF1P的外角平分线，所以∠ =∠KF1Q。2．求轨迹问题。 例3 已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。 [解法一] 利用定义，以椭圆的中心为原点O，焦点所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设椭圆方程：  =1（a>b>0）.F坐标为(-c, 0).设另一焦点为 。连结 ，OP，则 。所以|FP|+|PO|= (|FA|+|A|)=a.所以点P的轨迹是以F，O为两焦点的椭圆（因为a>|FO|=c），将此椭圆按向量m=(  ,0)平移，得到中心在原点的椭圆： 。由平移公式知，所求椭圆的方程为 [解法二] 相关点法。设点P(x,y), A(x1, y1)，则  ，即x1=2x+c, y1=2y. 又因为点A在椭圆上，所以 代入得关于点P的方程为 。它表示中心为 ，焦点分别为F和O的椭圆。例4 长为a, b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。 [解] 设P(x, y)为轨迹上任意一点，A，B，C，D的坐标分别为A(x-  ,0), B(x+,0), C(0, y- ), D(0, y+), 记O为原点，由圆幂定理知|OA|?|OB|=|OC|?|OD|，用坐标表示为 ，即 当a=b时，轨迹为两条直线y=x与y=-x； 当a>b时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线； 当a<b时，轨迹为焦点在y轴上的两条等轴双曲线。 例5 在坐标平面内，∠AOB=  ，AB边在直线l: x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨迹方程。[解] 设∠xOB=θ,并且B在A的上方，则点A，B坐标分别为B(3, 3tanθ),A(3,3tan(θ- )),设外心为P(x,y)，由中点公式知OB中点为M 。由外心性质知  再由 得 ×tanθ=-1。结合上式有 ?tanθ= ①又 tanθ+ = ②又  所以tanθ- = 两边平方，再将①，②代入得 。即为所求。3．定值问题。 例6 过双曲线 (a>0, b>0)的右焦点F作B1B2 轴，交双曲线于B1，B2两点，B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H点。求证：H的横坐标为定值。[证明] 设点B，H，F的坐标分别为(asecα,btanα), (x0, 0), (c, 0)，则F1，B1，B2的坐标分别为(-c, 0), (c,  ), (c,  )，因为F1，H分别是直线B2F，BB1与x轴的交点，所以 ①所以    。由①得  代入上式得  即 （定值）。注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。 例7 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在准线上，且BC//x轴。证明：直线AC经过定点。 [证明] 设  ，则 ，焦点为 ，所以 ， ， ， 。由于 ，所以 ?y2- y1=0，即 =0。因为 ，所以 。所以 ，即 。所以 ，即直线AC经过原点。例8 椭圆 上有两点A，B，满足OAOB，O为原点，求证： 为定值。[证明] 设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB=  ，则点A，B的坐标分别为A(r1cosθ, r1sinθ),B(-r2sinθ,r2cosθ)。由A，B在椭圆上有 即  ① ②①+②得  （定值）。4．最值问题。 例9 设A，B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OA OB（O为原点），求|AB|的最大值与最小值。[解] 由题设a=1，b=  ,记|OA|=r1,|OB|=r2, ，参考例8可得 =4。设m=|AB|2= ,因为  ，且a2>b2，所以 ，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤a.所以 。又函数f(x)=x+ 在 上单调递减，在 上单调递增，所以当t=1即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值1；当 或 时，|AB|取最大值 。例10 设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为  ，若圆C： 1上点与这椭圆上点的最大距离为 ，试求这个椭圆的方程。[解] 设A，B分别为圆C和椭圆上动点。由题设圆心C坐标为  ，半径|CA|=1，因为|AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当A，B，C共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值，所以|BC|最大值为 因为  ；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t, ,t，椭圆方程为 ，并设点B坐标为B(2tcosθ,tsinθ)，则|BC|2=(2tcosθ)2+ =3t2sin2θ-3tsinθ+ +4t2=-3(tsinθ+)2+3+4t2.若  ，则当sinθ=-1时，|BC|2取最大值t2+3t+ ，与题设不符。若t> ,则当sinθ= 时，|BC|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.所以椭圆方程为  。5．直线与二次曲线。 例11 若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a的取值范围。 [解] 抛物线y=ax2-1的顶点为(0,-1)，对称轴为y轴，存在关于直线x+y=0对称两点的条件是存在一对点P(x1,y1)， (-y1,-x1)，满足y1=a 且-x1=a(-y1)2-1，相减得x1+y1=a( ),因为P不在直线x+y=0上，所以x1+y1≠0,所以1=a(x1-y1)，即x1=y1+ 所以  此方程有不等实根，所以 ，求得 ，即为所求。例12 若直线y=2x+b与椭圆 相交，（1）求b的范围；（2）当截得弦长最大时，求b的值。[解] 二方程联立得17x2+16bx+4(b2-1)=0.由Δ>0，得  <b< ；设两交点为P(x1,y1),Q(x2,y2)，由韦达定理得|PQ|= 。所以当b=0时，|PQ|最大。三、基础训练题 1．A为半径是R的定圆⊙O上一定点，B为⊙O上任一点，点P是A关于B的对称点，则点P的轨迹是________. 2．一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m2(>0)，则动点的轨迹是________. 3．椭圆  上有一点P，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是________.4．双曲线方程  ，则k的取值范围是________.5．椭圆  ，焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2=600，则ΔF1PF2的面积是________.6．直线l被双曲线  所截的线段MN恰被点A（3，-1）平分，则l的方程为________.7．ΔABC的三个顶点都在抛物线y2=32x上，点A（2，8），且ΔABC的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线BC的斜率为________. 8．已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，则双曲线方程为________. 9．已知曲线y2=ax，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线的倾斜角为450，那么a=________. 10.P为等轴双曲线x2-y2=a2上一点，  的取值范围是________.11．已知椭圆  与双曲线 有公共的焦点F1，F2，设P是它们的一个焦点，求∠F1PF2和ΔPF1F2的面积。12．已知（i）半圆的直径AB长为2r；（ii）半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为T，设|AT|=2a(2a<  )；（iii）半圆上有相异两点M，N，它们与直线l的距离|MP|，|NQ|满足 求证：|AM|+|AN|=|AB|。13．给定双曲线  过点A（2，1）的直线l与所给的双曲线交于点P1和P2，求线段P1P2的中点的轨迹方程。四、高考水平测试题 1．双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点，它的一条渐近线方程是  =0，则此双曲线的标准方程是_________.2．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若A，B在抛物线准线上的射影分别是A1，B1，则∠A1FB1=_________. 3．双曲线 的一个焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线上任一点，以|PF1|为直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为_________.4．椭圆的中心在原点，离心率  ，一条准线方程为x=11，椭圆上有一点M横坐标为-1，M到此准线异侧的焦点F1的距离为_________.5．4a2+b2=1是直线y=2x+1与椭圆 恰有一个公共点的_________条件.6．若参数方程  （t为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直线的方程是_________.7．如果直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆  总有公共点，则m的范围是_________.8．过双曲线  的左焦点，且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条.9．过坐标原点的直线l与椭圆  相交于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F，则直线l的倾斜角为_________.10．以椭圆x2+a2y2=a2(a>1)的一个顶点C（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的三角形最多可作_________个. 11．求椭圆 上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。12．设F，O分别为椭圆 的左焦点和中心，对于过点F的椭圆的任意弦AB，点O都在以AB为直径的圆内，求椭圆离心率e的取值范围。13．已知双曲线C1：  (a>0)，抛物线C2的顶点在原点O，C2的焦点是C1的左焦点F1。（1）求证：C1，C2总有两个不同的交点。 （2）问：是否存在过C2的焦点F1的弦AB，使ΔAOB的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB的方程与SΔAOB的最值，若不存在，说明理由。 五、联赛一试水平训练题 1．在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是_________. 2．设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，ΔOPQ面积为_________. 3．给定椭圆 ，如果存在过左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，且OPOQ，则离心率e的取值范围是_________.4．设F1，F2分别是双曲线 (a>b>0)的左、右焦点，P为双曲线上的动点，过F1作∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M，则M的轨迹为_________.5．ΔABC一边的两顶点坐标为B（0，  ）和C（0， ），另两边斜率的乘积为 ，若点T坐标为(t,0)(t∈R+),则|AT|的最小值为_________.6．长为l(l<1)的线段AB的两端点在抛物线y=x2上滑动，则线段AB的中点M到x轴的最短距离等于_________. 7．已知抛物线y2=2px及定点A(a,b),B(-a,0),ab≠0,b2≠2pa，M是抛物线上的点，设直线AM，BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2，当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为_________. 8．已知点P（1，2）既在椭圆 内部（含边界），又在圆x2+y2= 外部（含边界），若a,b∈R+,则a+b的最小值为_________.9．已知椭圆  的内接ΔABC的边AB，AC分别过左、右焦点F1，F2，椭圆的左、右顶点分别为D，E，直线DB与直线CE交于点P，当点A在椭圆上变动时，试求点P的轨迹。10．设曲线C1：  （a为正常数）与C2：y2=2(x+m)在x轴上方有一个公共点P。（1）求实数m的取值范围（用a表示）；（2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0<a< 时，试求ΔOAP面积的最大值（用a表示）。11．已知直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（-1，0）和B（0，8）关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线的方程。 六、联赛二试水平训练题 1．在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G，求证：∠GAC=∠EAC。 2．求证：在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点，每段长都为1的闭折线，它的每个顶点坐标都是有理数。 3．以B0和B1为焦点的椭圆与ΔAB0B1的边ABi交于Ci(i=0,1)，在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心，B0P0为半径作圆弧  交C1B0的延长线于Q0；以C1为圆心，C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1；B1为圆心，B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的延长线于Q1；以C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧Q1 ，交AB0的延长线于 。求证：（1）点与点P0重合，且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0；（2）P0，Q0，P1，Q1共圆。4．在坐标平面内，从原点出发以同一初速度v0和不同发射角（即发射方向与x轴正向之间 的夹角）α(α∈[0,π],α≠  )射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族，若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点。证明：此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求此椭圆弧的方程（确定变量取值范围）。5．直角ΔABC斜边为AB，内切圆切BC，CA，AB分别于D，E，F点，AD交内切圆于P点。若CP BP，求证：PD=AE+AP。6．已知BC CD，点A为BD中点，点Q在BC上，AC=CQ，又在BQ上找一点R，使BR=2RQ，CQ上找一点S，使QS=RQ，求证：∠ASB=2∠DRC。本系列讲座由在人教中数论坛网友“0.1”整理提供，感谢他（她）的分享。 (责任编辑：admin) |