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第三章《函数的应用》复习测试题（二） 三、解答题 12.某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图甲，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图乙(注：利润与投资单位：万元).  ⑴分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式，并写出它们的函数关系式； ⑵该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元(精确到1万元)？ 考查目的：考查函数建模能力、待定系数法求函数解析式、换元法求二次函数最值，以及转化化归思想和数形结合思想等. 答案：⑴  ， ；⑵当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约4万元.解析：⑴设A产品投资  万元时，利润为 万元； B产品投资万元时，利润为 万元，由题意设 ( ).由图象可知 ，∴ .又∵ ，∴ ，∴，.⑵设投入A产品 万元，则投入B产品为 万元，这时企业获得的利润为 万元，依题意得 .令  ，∴ ，∴当  时， ，此时 .答：当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约4万元. 13.(2011湖北理)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度  (单位：千米/小时)是车流密度(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当 时，车流速度是车流密度的一次函数.⑴当  时，求函数 的表达式；⑵当车流密度 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)  可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)考查目的：考查分段函数、待定系数法和函数最值的求法等基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力. 答案：⑴  ⑵当 时，在区间[0，200]上取得最大值 .解析：⑴由题意得，当  时， ；当时，设 ( ).由已知条件得 解得 ∴函数的表达式为⑵由⑴得 当 时，为增函数，∴当 时，其最大值为60×20=1200；当 时，  ，当且仅当 时，在区间[20，200]上取得最大值 .综合以上得，当 时，在区间[0，200]上取得最大值.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时. 14.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5千美元～8千美元的地区销售该公司A饮料情况的调查中发现：人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减. ⑴下列几个模拟函数中的哪一个模拟函数( 表示人均GDP，单位：千美元，表示年人均A饮料的销量，单位：升)来描述人均A饮料销量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由.①  ，② ，③ ，④ ；⑵若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把⑴中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销量最多是多少？ 考查目的：考查几类增长率函数模型与实际问题的拟合，数学建模能力，综合所学知识解决实际问题的能力. 答案：⑴ ；⑵年人均A饮料销量最多是 升.解析：⑴用函数① 来描述人均A饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适.因为函数，，在其定义域内都是单调函数，不具备先递增后递减的特征.⑵∵函数图象经过点(1，2)和(4，5)，∴  ，解得 ，∴ ， .∵  ，∴在各地区中，当 时，年人均A饮料销量最多是升.15.(2007广东)已知  是实数，函数 ，如果函数 在区间 上有零点，求实数的取值范围.考查目的：考查函数零点的定义、二次函数与二次方程之间的相互转化和数形结合思想. 答案：  或 .解析：函数 在区间上有零点，即方程 在上有解.若 时，则 ，不符合题意，∴ ，∴方程在上有解等价于①  或② .解①得 .解②得或 .综合①②得 或，即实数的取值范围是或.(责任编辑：admin) |