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2.3对数函数 重难点：理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相互转化，能应用对数运算性质及换底公式灵活地求值、化简；理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比较同底对数大小，了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用． 考纲要求：①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用； ②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点； ③知道对数函数是一类重要的函数模型； ④了解指数函数  与对数函数 互为反函数 ．经典例题：已知f（logax）=  ，其中a＞0，且a≠1．（1）求f（x）； （2）求证：f（x）是奇函数； （3）求证：f（x）在R上为增函数． 当堂练习： 1．若  ,则 （ ） A．  B． C． D． 2．设  表示 的小数部分，则 的值是（ ） A．  B． C．0 D． 3．函数  的值域是（ ）A．  B．[0,1] C．[0, D．{0}4．设函数  的取值范围为（ ）A．（－1，1） B．（－1，+∞） C．  D． 5．已知函数  ，其反函数为 ，则 是（ ）A．奇函数且在（0，＋∞）上单调递减 B．偶函数且在（0，＋∞）上单调递增 C．奇函数且在（-∞，0）上单调递减 D．偶函数且在（-∞，0）上单调递增 6．计算  = ．7．若2.5x=1000,0.25y=1000,求  ．8．函数f(x)的定义域为[0,1],则函数  的定义域为 ．9．已知y=loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是 ． 10．函数  图象恒过定点 ，若 存在反函数 ，则 的图象必过定点 ． 11．若集合{x，xy，lgxy}＝{0，|x|，y}，则log8（x2＋y2）的值为多少． 12．(1) 求函数  在区间 上的最值．(2)已知  求函数 的值域．13．已知函数  的图象关于原点对称． (1)求m的值； (2)判断f(x) 在  上的单调性,并根据定义证明．14．已知函数f(x)=x2－1(x≥1)的图象是C1，函数y=g(x)的图象C2与C1关于直线y=x对称． (1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M； (2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x1，x2都有|h(x1)－h(x2)|≤a|x1－x2|成立，则称函数y=h(x)为A的利普希茨Ⅰ类函数．试证明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ类函数． 参考答案： 经典例题：（1）解：设t=logax，则t∈R，∴x=at（x＞0）.则f（t）=  = （at－a－t）．（2）证明：∵f（－x）= （a－x－ax）=－（ax－a－x）=－f（x），∴f（x）为奇函数.（3）证明：设x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）= ［（a －a－）－（a －a－）］= ；（a－a）+a－a－（a－a）］=（a－a）（1+a－a－）．若0＜a＜1，则a2－1＜0，a ＞a，∴f（x2）＞f（x1）.∴y=f（x）在R上为增函数；若a＞1，则a2－1＞0，a ＜a.∴f（x2）＞f（x1）.∴y=f（x）在R上为增函数．综上，a＞0，且a≠1时，y=f（x）是增函数． 当堂练习： 1.A ; 2. A ; 3. B ;4. D ;5. D ; 6. 0;7.  ;8. [0,2];9. 1＜a＜2;10.  ;11.根据集合中元素的互异性，在第一个集合中，x≠0，第二个集合中，知道y≠0，∴第一个集合中的xy≠0，只有lg（xy）＝0，可得xy＝1①，∴x＝y②或xy＝y③．由①②联立，解得x＝y＝1或x＝y＝－1，若x＝y＝1，xy＝1，违背集合中元素的互异性，若x＝y＝－1，则xy＝|x|＝1，从而两个集合中的元素相同．①③联立，解得x＝y＝1，不符合题意．∴x＝－1，y＝－1，符合集合相等的条件．因此，log8（x2＋y2）＝log82＝ ．12.(1) 解:   =  ,当 时, ,而  ,所以当 时,y有最小值 ;当 时, y有最大值3. (2)由已知，得  = 13.由图象关于原点对称知它是奇函数,得f(x)+f(-x)=0,即  ,得  m= -1； (2)由(1)得 ,定义域是 ,设  ,得 ,所以当a>1时，f(x) 在上单调递减;当0<a<1时，f(x) 在上单调递增．14.(1)由y=x2－1(x≥1)，得y≥0，且x=  ，∴f－1(x)= (x≥0)，即C2：g(x)= ，M={x|x≥0}． (2)对任意的x1，x2∈M，且x1≠x2，则有x1－x2≠0，x1≥0，x2≥0． ∴|g(x1)－g(x2)|=|  － |= ＜|x1－x2|．∴y=g(x)为利普希茨Ⅰ类函数，其中a= ．(责任编辑：admin) |