23、(福建理 22)已知函数 (Ⅰ)若 ,试确定函数 的单调区间; (Ⅱ)若 ,且对于任意 , 恒成立,试确定实数 的取值范围; (Ⅲ)设函数 ,求证: . 【解答】本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法,考查分析问题、解决问题的能力.满分14分. (Ⅰ)由 得 ,所以 . 由 得 ,故 的单调递增区间是 , 由 得 ,故 的单调递减区间是 . (Ⅱ)由 可知 是偶函数. 于是 对任意 成立等价于 对任意 成立. 由 得 . ①当 时, . 此时 在 上单调递增. 故 ,符合题意. ②当 时, . 当 变化时 的变化情况如下表:
由此可得,在 上, . 依题意, ,又 . 综合①,②得,实数 的取值范围是 . (Ⅲ) ,  , ,  由此得, 故 . 24、(福建文 20)设函数 . (Ⅰ)求 的最小值 ; (Ⅱ)若 对 恒成立,求实数 的取值范围. 【解答】本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用,考查运用数学知识分析问题解决问题的能力.满分12分. (Ⅰ) , 当 时, 取最小值 , 即 . (Ⅱ)令 , 由 得 , (不合题意,舍去). 当 变化时 , 的变化情况如下表:
在 内有最大值 . 在 内恒成立等价于 在 内恒成立, 即等价于 , 所以 的取值范围为 . 25、(广东理、文 20)已知 是实数,函数 .如果函数 在区间 上有零点,求 的取值范围. 【解答】若 , ,显然在上没有零点, 所以  令 得  当 时, 恰有一个零点在 上; 当 即 时, 也恰有一个零点在 上; 当 在 上有两个零点时, 则 或 解得 或 因此 的取值范围是 或 ; 26、(海南理 21)设函数 (I)若当 时, 取得极值,求 的值,并讨论 的单调性; (II)若 存在极值,求 的取值范围,并证明所有极值之和大于 . 【解答】(Ⅰ) , 依题意有 ,故 . 从而 . 的定义域为 ,当 时, ; 当 时, ; 当 时, . 从而, 分别在区间 单调增加,在区间 单调减少. (Ⅱ) 的定义域为 , . 方程 的判别式 . (ⅰ)若 ,即 ,在 的定义域内 ,故 的极值. (ⅱ)若 ,则 或 . 若 , , . 当 时, ,当 时, ,所以 无极值. 若 , , , 也无极值. (ⅲ)若 ,即 或 ,则 有两个不同的实根 , . 当 时, ,从而 有 的定义域内没有零点,故 无极值. 当 时, , , 在 的定义域内有两个不同的零点,由根值判别方法知 在 取得极值. 综上, 存在极值时, 的取值范围为 . 的极值之和为 . 27、(海南文 19)设函数 (Ⅰ)讨论 的单调性; (Ⅱ)求 在区间 的最大值和最小值. 【解答】 的定义域为 . (Ⅰ) . 当 时, ;当 时, ;当 时, . 从而, 分别在区间 , 单调增加,在区间 单调减少. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 在区间 的最小值为 . 又 . 所以 在区间 的最大值为 . 28、(湖北理 20)已知定义在正实数集上的函数 , ,其中 .设两曲线 , 有公共点,且在该点处的切线相同. (I)用 表示 ,并求 的最大值; (II)求证: ( ). 【解答】本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解决问题的能力. (Ⅰ)设 与 在公共点 处的切线相同. , ,由题意 , . 即 由 得: ,或 (舍去). 即有 . 令 ,则 .于是 当 ,即 时, ; 当 ,即 时, . 故 在 为增函数,在 为减函数, 于是 在 的最大值为 . (Ⅱ)设 , 则 . 故 在 为减函数,在 为增函数, 于是函数 在 上的最小值是 . 故当 时,有 ,即当 时, . 29、(湖北文 19)设二次函数 ,方程 的两根 和 满足 . (I)求实数 的取值范围; (II)试比较 与 的大小.并说明理由. 【解答】本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法,考查推理和运算能力. 解法1:(Ⅰ)令 , 则由题意可得  . 故所求实数 的取值范围是 . (II) ,令 . 当 时, 单调增加, 当 时, ,即 . 解法2:(I)同解法1. (II) ,由(I)知 , .又 于是 , 即 ,故 . 解法3:(I)方程  ,由韦达定理得 , ,于是  . 故所求实数 的取值范围是 . (II)依题意可设 ,则由 ,得  ,故 .
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