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四川省遂宁市第一中学校 唐振钧 线性规划问题，明确线性目标函数Z=mx+ny(m≠0，n≠0)中Z的几何意义是线性规划问题的核心、是解决线性规划问题的关键.由Z=mx+ny得，y=  ，与一次函数y=kx+b比较得b= ,于是z=nb,因此z的几何意义是y=在y轴上的截距的n倍.1.当n＞0时，z=nb, z与y=  在y轴上的截距b成正比，b越大，z越大；b越小，z越小.例1 （2006高考天津）设变量  、 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为（ ）A．  B． C． D．  分析：y=-2x+z与y=-2x+b比较，z=b, b越大，z越大；b越小，z越小. 解：作出不等式组 所表示的平面区域（图1），即可行域△ABC. 解  得 ,即A(1，1).解 得 ,即B(2，0).解 得 ,即C(3，3).作直线l0:2x+y=0,作与l0平行的直线l,则当l经过可行域上的点A时（直线l1），目标函数  取最小值，zmin=2×1+1=3，选B.例2（2006高考广东）在约束条件  下，当 时，目标函数 的最大值的变化范围是A.  B.  C.  D.    分析：s变化，可行域也将发生变化. 解：由  得交点为 ，(1)当  时（图2），可行域是四边形OABC，此时，zmax=3(4-s)+2(2s-4)=s+4, ∵3≤s＜4,∴7≤s+4＜8,故7≤zmax＜8. （2）当  时（图3，图4），可行域是△OAE，此时，zmax=3×0+2×4=8. ∴综上得，7≤zmax≤8.故选D. 2.当n＜0时，z=nb, z与y= 在y轴上的截距b成反比，b越大，z越小；b越小，z越大.例3（2006高考安徽）如果实数  满足条件 那么 的最大值为A． B． C． D．  分析：y=2x-z与y=2x+b比较，z= -b, b越大，z越大；b越小，z越小. 解：作出不等式组 所表示的平面区域（图5），即可行域△ABC.解  ,得 ,即A(-1,0).解 ，得B(-2，-1).解 ,得 ,即C(0,-1).作直线l0:2x-y=0,作与l0平行的直线l,当直线l过可行域上的点C时（直线l1），目标函数z=2x-y取最大值，zmax=2×0-(-1)=1.故选B. 例4 (2006高考重庆)已知变量 ，满足约束条件 .若目标函数 （其中 ）仅在点 处取得最大值，则 的取值范围为 . 分析：可行域是一个有界区域（△ABC），若线性目标函数有最大值或最小值，则应在边界点取得最大值或最小值. 解：作出不等式组 表示的平面区域(图6)，即可行域△ABC. 解  ,得 ,即A（0，1）.解 ,得 ,即B（3，0）.解 ,得,即C（1，1）.∵目标函数 （a＞0）仅在点（3，0）取得最大值，即仅在点B取得最大值.∴  即 ,∴a＞ .故a的取值范围是(,+∞).
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