|
湖北省团风县淋山河高中 赵火安 培养学生思维的广阔性是数学教学的主要目标之一，例题多解的教学方法，既是发挥例题功能的重要形式，又是培养学生发散思维能力，挖掘创新能力，形成探究意识的重要途径。 一、培养学生最基本的观察能力、分析能力及转换角度看问题的意识 例1，过P（1，2）作直L分别交x，y正半轴于A、B两点，求使△AOB面积最小时L的方程。 分析一：由于S△AOB=  丨OA丨.丨OB丨，而丨OA丨、丨OB丨的长度又与L的横纵截矩有关，同学们自然想到利用直线方程的截距式来求L的方程。解法1：设L的方程为  （a>0，b>0） P（1，2）在L上，  b+2a=ab又S△AOB=  即   当且仅当b=2a时等号成立，  故当a=2，b=4时，△AOB面积取得小值是4 此时，直线L的方程为  分析二：显然直线L的斜率存在，若设直线L的斜率为k,利用斜率表示出A、B的坐标，进而得出△AOB的面积S关于k的表达式。 解法2：设L的方程为y=kx+b （k>0,b>0） 点P（1，2）在L上，k+b=2，即b=2-k L的方程为y=kx+2-k △AOB的面积 此时只要求出当k<0时，S的最小值即可得出对应的K值，而求S的最小值又有如下两种不同的思维方式。 思路1：  当且仅当  故当k=-2时，△AOB的面积有最小值4 此时L的方程为y=-2x+4，即2x+y-4=0 思路2： 由  ①关于K的方程总有实根，  、从而得   一题多解是拓宽学生思维，培养学生多角度思考问题的重要途径，通过对一题多解解法的探索，可以促使学生展开思维广泛联想，同时有利于学生对基础知识、基本方法的融会贯通。 二、引导学生多方位观察，思考与联想，从一题多解中探求解决问题的最佳方式 例2，已知圆C（x-1）2+（y-2）2=2,P(2,-1)过P作圆C的切线，切点为A、B，求直线AB的方程。 解法1：先求切线PA、PB的方程，再分别联立PA、PB与圆C的方程，通过解方程组求出A、B两点的坐标，进而得出直线A、B方程。 解法2：先求出一条切线PA的方程，再联立PA方程与圆C的方程解出A点坐标，又利用PC⊥AB这个几何性质，通过KPC.KAB=-1，得出AB的斜率，进而写出AB的直线方程。 解法3：利用过圆（x-a）2+(y-b)）2=r2上任一点(x1，y1)的切线方程为 （x-a）(x1-a)+(y-b)(y1-b)=r2，来探求AB的方程 设A（x1,y1），B(x2,y2) 则过A的切线为（x-1）(x1-1)+(y-2)(y2-2)=2 代入P(2,-1) 得：x1-3y1+3=0 ① 过B点的切线为（x-1）(x2-1)+(y-2)(y2-2)=2 代入P(2,-1)，得：x2-3y2+3=0 ② 由①、②知，过A、B两点的直线方程为：x-3y+3=0 解法4：显然四边形OAPB有以PC为直线的外接圆，设为圆D，先求出 圆D的方程为  圆C的方程为（x-1）2+(y-2)2=2 ② ①-②即得，两圆公共弦AB所在直线方程为x-3y+3=0 例题多解的教育是学生一次探索解题的教学，更是一次教师进行数学思想方法渗透和培养学生发散思维能力的教学，教师要创设一个有利于例题多解教学开展的氛围，当学生思维出现障碍时，教师应给予启发性提示，晚醒其创造性的欲望，促使思维起连锁反应，通过教师对解题方法的梳理、升华，引导学生把握问题的本质，通过对各种方法的比较，增强求简意识，优化思维品质，当然任何一种能力的培养都不是一种容易的事，但只要努力，就一定有成效！ (责任编辑：admin) |