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数列中的数学思想

http://www.newdu.com 2018-11-18 人民教育出版社 佚名 参加讨论
    丁赛军  
    
    在数列综合问题中蕴含着许我重要的数学思想,如归纳思想、函数思想、方程思想、递推思想、化归思想、分类讨论思想,在这些思想的指导下产生许多解决数列问题的方法,让学生充分理解和掌握这些思想和方法,对提高解决数列综合问题的能力很为重要。
    一. 归纳思想
    通过对命题在特殊情况下的考察与探索,发现并归纳出一般性的结论,再运用数学的方法对结论进行证明,这种归纳思想形成了解决数列问题的一种重要方法;观察、归纳、猜想、证明。
    例1. 设是数列的前n项和,且,数列的通项公式为,将数列的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列,求
    分析:由,得,直接求出它们的公共项比较困难,可列举它们开始的若干项进行观察,发现规律后再进行证明。
    解:
    ,727,……,2187,……。
    猜想:,……是公共项,即
    证明:若是公共项,则存在,使得
    那么
    
    这说明当是公共项时,不是公共项,是公共项,
    二. 方程思想
    在等差与等比数列中,常常需要研究之间关系,我们可以以方程思想为指导,寻找未知数个数与方程个数间的关系。
    例2. 设是等差数列的前n项和,已知的等比中项为的等差中项为1,求
    解:由题意知
     即
     解得
     
    三. 递推思想
    在数列问题中,学生往往很重视通项,但有时用递推关系给出数列比通项更简洁,这就要求培养学生的递推思想。
    例3. 某林场原有森林木材量a,木材以每年25%的增长率生成,而每年要砍伐的木材量为x,为使经过20年木材存有量翻两番,求每年砍伐量x(
    分析:设经过n年后木材量为,则根据题意有
      
     即
     其中
     于是数列是首项为,公比为的等比数列,
      
      由题意知时,
      
    设
    
      
    四. 函数思想
    数列是特殊的函数,因而许多数列问题的讨论可用函数方法解决。
    例4. 在xOy平面上有一点列,……,对每个自然数n,点位于函数的图象上,且点、点与点构成一个以为顶点的等腰三角形。
    (1)求点的纵坐标的表达式;
    (2)若对每个自然数n,以为边长能构成一个三角形,求a的取值范围。
    分析:(1)由点、点(n,0)与点构成以为顶点的等腰三角形,知
    又在函数的图象上
    
    (2)
     函数是减函数
     对每个自然数n都有
     则以为边长能构成三角形的充要条件是
      
     即
     解得
     
    五. 分类讨论思想
    数列中许多问题在不同的情形下可得到不同的结论,这时往往需分类讨论。
    例5. 3个实数适当排列,分别取常用对数后构成公差为1的等差数列,求此时a的值。
    分析:此题关键是3个数以怎样的顺序构成等差数列?由公差为1可知,所成等差数列一定是递增的,所以需判断这3个数的大小关系,从而减少分类次数。
    解:记
     
    由题意知
     
    解得
    考虑差
     
    
    
    
    又
    (1)当时,(不舍题意)
    (2)当时,,此时有
     构成公差为1的等差数列,即
     
     即
    解得
    (3)当时,,此时
     构成公差为1的等差数列,即
     
     
     
    上述方程组无解,即a不存在。
    综合(1)(2)(3)知
     (责任编辑:admin)
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