丁赛军 在数列综合问题中蕴含着许我重要的数学思想,如归纳思想、函数思想、方程思想、递推思想、化归思想、分类讨论思想,在这些思想的指导下产生许多解决数列问题的方法,让学生充分理解和掌握这些思想和方法,对提高解决数列综合问题的能力很为重要。 一. 归纳思想 通过对命题在特殊情况下的考察与探索,发现并归纳出一般性的结论,再运用数学的方法对结论进行证明,这种归纳思想形成了解决数列问题的一种重要方法;观察、归纳、猜想、证明。 例1. 设是数列的前n项和,且,数列的通项公式为,将数列和的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列,求。 分析:由,得,直接求出它们的公共项比较困难,可列举它们开始的若干项进行观察,发现规律后再进行证明。 解: ,727,……,2187,……。 猜想:,……是公共项,即。 证明:若是公共项,则存在,使得。 那么 这说明当是公共项时,不是公共项,是公共项,。 二. 方程思想 在等差与等比数列中,常常需要研究之间关系,我们可以以方程思想为指导,寻找未知数个数与方程个数间的关系。 例2. 设是等差数列的前n项和,已知与的等比中项为,与的等差中项为1,求。 解:由题意知 即 解得或 或 三. 递推思想 在数列问题中,学生往往很重视通项,但有时用递推关系给出数列比通项更简洁,这就要求培养学生的递推思想。 例3. 某林场原有森林木材量a,木材以每年25%的增长率生成,而每年要砍伐的木材量为x,为使经过20年木材存有量翻两番,求每年砍伐量x() 分析:设经过n年后木材量为,则根据题意有 即 其中 于是数列是首项为,公比为的等比数列, 由题意知时, 设 四. 函数思想 数列是特殊的函数,因而许多数列问题的讨论可用函数方法解决。 例4. 在xOy平面上有一点列,……,对每个自然数n,点位于函数的图象上,且点、点与点构成一个以为顶点的等腰三角形。 (1)求点的纵坐标的表达式; (2)若对每个自然数n,以为边长能构成一个三角形,求a的取值范围。 分析:(1)由点、点(n,0)与点构成以为顶点的等腰三角形,知。 又点在函数的图象上 (2) 函数是减函数 对每个自然数n都有 则以为边长能构成三角形的充要条件是 即 解得或 五. 分类讨论思想 数列中许多问题在不同的情形下可得到不同的结论,这时往往需分类讨论。 例5. 3个实数,适当排列,分别取常用对数后构成公差为1的等差数列,求此时a的值。 分析:此题关键是3个数以怎样的顺序构成等差数列?由公差为1可知,所成等差数列一定是递增的,所以需判断这3个数的大小关系,从而减少分类次数。 解:记 由题意知 解得 考虑差 又 (1)当时,(不舍题意) (2)当时,,此时有 构成公差为1的等差数列,即 即 解得 (3)当时,,此时 构成公差为1的等差数列,即 上述方程组无解,即a不存在。 综合(1)(2)(3)知 (责任编辑:admin) |