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三角恒等变换教学的另一起点

http://www.newdu.com 2018-11-18 人民教育出版社 佚名 参加讨论
    山东省临清市第二中学 马英济  
    本文试图区别于新课标教材,采用起点更低,更易于学生接受的思路与方法,进行三角恒等变换的入门教学。由特殊到一般,利用合情推理的方式研究倍角公式、和角公式,对学生数学思维训练更有价值。
    诱思探究  如何用sinα,cosα 表示sin2α,cos2α 呢?可作如下尝试:
     
    一.关于的推证            
     
                
                        
       如图构造等腰△ABC,过A作AD垂直于BC,垂足为D.过B作BE垂直于CA,垂足为E.设∠BAC=2,AB=AC=1. 则AD=cosα,BD=DC=sinα,BE=sin2α (如图(1)) 或 BE=sin(π-2α)=sin2α(如图(2))
    考虑△ABC的面积,有
    即   
    于是,                       (
    接下来寻求的推证
    如图(1)AE= cos2α.  又等腰△ABC中,   .  EC=BCcosC=  
    AE=AC-EC=   ,  
    即  =   ()
    如图(2)AE=,
    EC=BCcosC=
    又EC=AE+AC=,
    ∴ 
    于是  (
     诱思探究:  能否推证Sα+β呢?可作如下尝试:
     
     二.关于Sα+β的推证
     
                   
    如图构造△ABC,设AB=m , AC=n . AD⊥BC ,D为垂足,∠BAD=α,∠DAC=β,过B作BE⊥CA,E为垂足.则 BE=msin(α+β)
     ,.
     
    即
            (Sα+β)
    说明:通过构造三角形,利用直角三角形中的锐角三角函数和三角形的面积公式.推证S2α ,Sα+β.上面的结果是在α,β都是锐角的情况下得到的.对于α,β都是任意角的情形,有兴趣的同学可用诱导公式自己推证,在此不在赘述.
    三角恒等变换的学习以代数变换为基础,考虑变换的对象,变换的目标以及变换的依据,加上公式之间存在的必然的紧密的内在联系,从一个公式入手,层层展开,就能形成和谐统一的三角公式体系.
     (责任编辑:admin)
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