河北省沧州师专泊头分校 李同贤
问题1：线段AB是已知半圆的直径，将AB分成相等的两条线段，以每一条为直径，在已知半圆内分别作两个更小的半圆，如此无限继续下去，所作小半圆能否和线段AB重合？
解答：为表述解答过程方便，设线段AB的长为d，称第n次作出的所有直径相等的小半圆为第n级半圆。
下面从弧长和面积两个角度考察。
第1级有2个，其直径都是d/2，弧长之和为： [（πd/2）/2]×2=πd/2，
面积之和为： [π（d/22）2 / 2]×2 =πd2/24.
第2级有22个，直径都是d/22，弧长之和为：[（πd/22）/2]×22=πd/2，面积之和为： [π（d/23）2/2]×22 =πd2/25.
一般地，不难得到各级半圆的个数、直径、弧长之和、面积之和如下表：
级别
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个数
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直径
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弧长之和
|
面积之和
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1
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2
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d/2
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πd/2
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πd2/24
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2
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22
|
d/22
|
πd/2
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πd2/25
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3
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23
|
d/23
|
πd/2
|
πd2/26
|
…
|
…
|
…
|
πd/2
|
…
|
n
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2n
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d/2n
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πd/2
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πd2/2n+3
|
…
|
…
|
…
|
πd/2
|
…
|
|
|
0
|
πd/2
|
0
|
可见，当无限继续作下去时，即当n趋向于无穷大时，所有小半圆的弧长之和是常数πd/2，该值大于已知半圆的直径d，而所有小半圆的面积之和是0.
因为对连接两点的线段（含曲线段）而言，“若不等长，则不重合”是真命题，所以能够断定所作的这些小半圆与线段AB不重合！然而，由所有小半圆与线段AB围成之封闭图形的面积之和为0，可以断定所作的这些小半圆与线段AB重合！
这样，从弧长和面积两个不同角度得出了两个完全相反的结论，究竟哪一个正确呢？
我们回过头来看，“弧长法”的根据是 “连接两点的线段（含曲线段）若不等长，则不重合”，这是一个在有限范围内建立起来并用来解决有限问题的结论。本问题中小半圆的弧长之和πd/2虽然是一个极限值，但它是一个非常特殊的数列——常数列的极限问题，它没有象一般极限过程那样，真正实现从有限向无限的质的跨越。简言之，该法仍然是用有限“眼光” “看待” 了无限问题，因而结论难免是错误的。
而“面积法”，当作法无限继续下去时，小半圆弧按级同步向线段AB无限趋近，或说充分靠近，要多近有多近，直至完全重合。因而此法得出的结论才是正确的。
问题2：一个鸡蛋的质量是60克，最多可承重3500克，如果把足够多同样的鸡蛋堆放成正棱锥型， 最多可堆放几层而不出风险？
解答：先看两种特殊情况：
1． 堆放成正三棱锥型。
不妨假设，沿底面的一个边沿相临摆放m个，则底面一层共可相临摆放m+（m-1）+ …+3+2+1=（m+1）m /2个；每向上一层，沿一个外边沿就少放一个，由此可知，一共可摆放m层，且这m层共可摆放的个数为：
（m+1）m /2+m（m-1）/ 2 + … +6+3+1= /2 = m（m+1）（m+2）/ 6.
这m层的质量为：60 m（m+1）（m+2）/ 6 = 10 m（m+1）（m+2）.
最底层每一个承重：[10 m（m+1）（m+2）] / [ （m+1）m / 2 ] = 20（m+2）.
由已知，须20（m+2）≤3500，即m≤173.
最多可堆放173层，但此时恰好已经达到负荷的极限。
2. 堆放成正四棱锥型。
同上之理可得，若沿底层外边沿放m个，则最底层共可放m2个，m层共可放的个数为： m2+（m-1）2+ …+32+22+12 = m（m+1）（2m+1）/ 6 .
这m层的质量为：10 m（m+1）（2m+1）.
最底层每一个承重：10 m（m+1）（2m+1）/ m2 =10 （m+1）（2m+1）/ m.
由已知，须10 （m+1）（2m+1）/ m ≤3500，即m≤173.5
最多可堆放173层而不出风险。
再看一般情况：
对正n棱锥（n为大于3的正整数）而言，假设最多可堆放m层，因每向上一层沿其一个外边沿少放1个，则沿底面一个外边沿可相临摆放m个。
因为边长为m的正n边形的面积为Sm = n（m2 Cot ）/ 4 .我们近似地认为最底层即第m层可放的个数为Sm = n（m2 Cot）/ 4 .因此，m层共可摆放的个数为： =  （n Cot）/ 4 =[（n Cot）/ 4]
= [n（Cot）/4] [m（m+1）（2m+1）/6]
这m层的质量为：60 [n（Cot）/4][m（m+1）（2m+1）/6]
最底层每一个承重：10（m+1）（2m+1）/ m.
由已知，须10 （m+1）（2m+1）/ m ≤3500，即m≤173.5
最多可堆放173层而不出风险。
类似地，堆成圆锥型时，若底面外沿放m个，我们近似地认为：底面周长为m，而底面面积m2/（4π）是底面可放个数。从而m层共可放 [m（m+1）（2m+1）/ 6 ] /（4π）. 这m层的质量为：60 [m（m+1）（2m+1）/ 6 ] /（4π），最底层每一个承重：
10（m+1）（2m+1）/ m . 由已知，须10 （m+1）（2m+1）/ m ≤3500，即m≤173.5所以最多可堆放173层而不出风险。
可见，结果只与层数有关，而与正锥体的具体形状无关。
事实上，上述解答过程只对两种特殊情况，即正三棱锥和正四棱锥的那部分成立。而“一般情况”下用“边长”和“面积”代替个数，可以验证，对正三棱锥就有很大误差。当n大于或等于5时，“底面”上根本不可能相临、均匀的摆放那些鸡蛋，因而“体内”也不可能相临、均匀的摆放那些鸡蛋。其原因可参考阅读上海教育出版社1998年出版的《数论妙趣》（美.阿尔伯特.H.贝勒著、谈祥柏译）中的第18章“球戏”。
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