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整数的性质及其应用(2)

http://www.newdu.com 2018-11-18 人民教育出版社 佚名 参加讨论

    
      基础知识
      最大公约数与最小公倍数是数论中的一个重要的概念,这里我们主要讨论两个整数互素、最大公约数、最小公倍数等基本概念与性质。
      定义1.(最大公约数)设不全为零,同时整除的整数(如)称为它们的公约数。因为不全为零,故只有有限多个,我们将其中最大一个称为的最大公约数,用符号()表示。显然,最大公约数是一个正整数。
    当()=1(即的公约数只有)时,我们称互素(互质)。这是数论中的非常重要的一个概念。
    同样,如果对于多个(不全为零)的整数,可类似地定义它们的最大公约数()。若()=1,则称互素。请注意,此时不能推出两两互素;但反过来,若()两两互素,则显然有()=1。
    由最大公约数的定义,我们不难得出最大公约数的一些简单性质:例如任意改变的符号,不改变()的值,即;()可以交换,()=();()作为的函数,以为周期,即对于任意的实数,有()=()等等。为了更详细地介绍最大公约数,我们给出一些常用的一些性质:
    (1)设是不全为0的整数,则存在整数,使得
    (2)(裴蜀定理)两个整数互素的充要条件是存在整数,使得
    事实上,条件的必要性是性质(1)的一个特例。反过来,若有使等式成立,不妨设,则,故,于是,即,从而
    (3)若,则,即的任何一个公约数都是它们的最大公约数的约数;
    (4)若,则
    (5)若,则,因此两个不互素的整数,可以自然地产生一对互素的整数;
    (6)若,则,也就是说,与一个固定整数互素的整数集关于乘法封闭。并由此可以推出:若,对于,进而有对
    (7)设,若,则
    (8)设正整数之积是一个正整数的次方幂(),若()=1,则都是整数的次方幂。一般地,设正整数之积是一个正整数的次方幂(),若两两互素,则都是正整数的次方幂。
      定义2.是两个非零整数,一个同时为倍数的数称为它们的公倍数,的公倍数有无穷多个,这其中最小的一个称为的最小公倍数,记作,对于多个非零实数,可类似地定义它们的最小公倍数[]。
    最小公倍数主要有以下几条性质:
    (1)的任一公倍数都是的倍数,对于多于两个数的情形,类似结论也成立;
    (2)两个整数的最大公约数与最小公倍满足:(但请注意,这只限于两个整数的情形,对于多于两个整数的情形,类似结论不成立);
    (3)若两两互素,则[]=||;
    (4)若,且两两互素,则
      典例分析
      例1是正整数,,它们的最小公倍数是最大公约数的120倍,求
    解:设,则,其中,于是
    所以  
    由及(2)可得:
       
    由(1)可知只能取
    从而或29,故
      例2.设,则
    证明:设,则,其中
     于是,已知条件转化为
     故更有
     从而转化为
     但是
     故,结合
     知必有,同时,因此
      例3设正整数的最大公约数是1,并且,证明是一个完全平方数。
    证明,则,其中,由于,故,现在问题中的等式可以转化为       ①
    由此可见整除。因为,故,同样可得,再由便可以推出。设,其中是一个正整数。一方面,显然整除;另一方面,结合①式,得,故,从而,但,故
    因此,,故,这样就证明了是一个完全平方数。
      例4 都是正整数,是否存在整数使得对任意的正整数互质?
    解:令,则,于是存在整数使得
    令,则对任意的正整数,设,有
    即,而,所以,即对任意的正整数,()=1。
      例5 已知,证明:对于任意的正整数,都有两两互素。(2002年克罗地亚竞赛试题)
    证明:设(其中出现次)。由,故对于,则是含有0次项的多项式。因此,除以的余数为1。设整数可整除,又,则当除以时余数为1,即+1。所以,矛盾!
    从而可知两两互素。
      例6求出所有的正整数对,使得是一个整数。(2006年山东省第二届夏令营试题)
    解:由于
        ,所以是对称的。不妨设
    当时,则,从而=2;
    当时,若时,则有,所以或3;
      若时,由于是一个整数,从而使得 
     即,所以
    又由于,所以
    所以
    从而或3,所以
    综上知所有的为(2,2),(2,1),(1,2),(3,1),(1,3),(5,2),(2,5),(5,3),(3,5).
      例7已知,且,试问的充要条件是
    分析:因为,所以
    又,所以
    令,则有
      
    又因为,所以
    从而上式为奇数,即的充要条件是为奇数。
      例8.我们知道有1个质因子,且
           有2个质因子,且
    ………………
    如此下去,我们可以猜想: 至少有个质因子,且。试证明之。
    证明:令,则,即要证是整数且有个质因子。下用数学归纳法证明是整数。
      时,结论显然;
    假设时,成立;
    当+1时,因为(-1)3+1=3-32+3
    因为,所以,即是整数。
    下证至少有个质因子。
      3-32+3=()3-3()2+3().
    因为(),令,则
    由于(,3)=1,所以(,)=1,从而必有异于质因子的质因子,
    所以至少有个质因子。 
     (责任编辑:admin)
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