基础知识 最大公约数与最小公倍数是数论中的一个重要的概念,这里我们主要讨论两个整数互素、最大公约数、最小公倍数等基本概念与性质。 定义1.(最大公约数)设不全为零,同时整除的整数(如)称为它们的公约数。因为不全为零,故只有有限多个,我们将其中最大一个称为的最大公约数,用符号()表示。显然,最大公约数是一个正整数。 当()=1(即的公约数只有)时,我们称与互素(互质)。这是数论中的非常重要的一个概念。 同样,如果对于多个(不全为零)的整数,可类似地定义它们的最大公约数()。若()=1,则称互素。请注意,此时不能推出两两互素;但反过来,若()两两互素,则显然有()=1。 由最大公约数的定义,我们不难得出最大公约数的一些简单性质:例如任意改变的符号,不改变()的值,即;()可以交换,()=();()作为的函数,以为周期,即对于任意的实数,有()=()等等。为了更详细地介绍最大公约数,我们给出一些常用的一些性质: (1)设是不全为0的整数,则存在整数,使得; (2)(裴蜀定理)两个整数互素的充要条件是存在整数,使得; 事实上,条件的必要性是性质(1)的一个特例。反过来,若有使等式成立,不妨设,则,故及,于是,即,从而。 (3)若,则,即的任何一个公约数都是它们的最大公约数的约数; (4)若,则; (5)若,则,因此两个不互素的整数,可以自然地产生一对互素的整数; (6)若,则,也就是说,与一个固定整数互素的整数集关于乘法封闭。并由此可以推出:若,对于有,进而有对有。 (7)设,若,则; (8)设正整数之积是一个正整数的次方幂(),若()=1,则都是整数的次方幂。一般地,设正整数之积是一个正整数的次方幂(),若两两互素,则都是正整数的次方幂。 定义2.设是两个非零整数,一个同时为倍数的数称为它们的公倍数,的公倍数有无穷多个,这其中最小的一个称为的最小公倍数,记作,对于多个非零实数,可类似地定义它们的最小公倍数[]。 最小公倍数主要有以下几条性质: (1)与的任一公倍数都是的倍数,对于多于两个数的情形,类似结论也成立; (2)两个整数的最大公约数与最小公倍满足:(但请注意,这只限于两个整数的情形,对于多于两个整数的情形,类似结论不成立); (3)若两两互素,则[]=||; (4)若,且两两互素,则|。 典例分析 例1. 设是正整数,且,它们的最小公倍数是最大公约数的120倍,求。 解:设,则,其中且,于是。 所以即 由及(2)可得: 。 由(1)可知只能取 从而或29,故或。 例2.设,,则。 证明:设,则,,其中。 于是,已知条件转化为, 故更有, 从而转化为, 但是, 故,结合, 知必有,同时,因此。 例3.设正整数的最大公约数是1,并且,证明是一个完全平方数。 证明:设,则,,其中,由于,故,现在问题中的等式可以转化为 ① 由此可见整除。因为,故,同样可得,再由便可以推出。设,其中是一个正整数。一方面,显然整除;另一方面,结合①式,得,故,从而,但,故。 因此,,故,这样就证明了是一个完全平方数。 例4. 都是正整数,是否存在整数使得对任意的正整数,与互质? 解:令,,则,于是存在整数使得, 令,则对任意的正整数,设,有 即,而,,所以,即对任意的正整数,(,)=1。 例5. 已知,证明:对于任意的正整数,都有两两互素。(2002年克罗地亚竞赛试题) 证明:设(其中出现次)。由,故对于有,则是含有0次项的多项式。因此,除以的余数为1。设整数可整除和,又=,则当除以时余数为1,即=+1。所以,矛盾! 从而可知两两互素。 例6.求出所有的正整数对,使得是一个整数。(2006年山东省第二届夏令营试题) 解:由于且 ,所以是对称的。不妨设。 当时,则,从而=2; 当时,若时,则有,所以或3; 若时,由于是一个整数,从而使得 即,所以<。 又由于,,所以。 所以, 从而得或3,所以; 综上知所有的为(2,2),(2,1),(1,2),(3,1),(1,3),(5,2),(2,5),(5,3),(3,5). 例7.已知,且,试问的充要条件是 分析:因为,所以; 又,所以; 令,则有 又因为,所以 从而上式且为奇数,即的充要条件是且为奇数。 例8.我们知道有1个质因子,且; 有2个质因子,且 ……………… 如此下去,我们可以猜想: 至少有个质因子,且。试证明之。 证明:令=,则=,即要证是整数且有个质因子。下用数学归纳法证明是整数。 时,结论显然; 假设时,成立; 当+1时,因为(-1)3+1=3-32+3; 因为,所以,即是整数。 下证至少有个质因子。 =3-32+3=()3-3()2+3(). 因为=(),令,则= 由于(,3)=1,所以(,)=1,从而必有异于质因子的质因子, 所以至少有个质因子。 (责任编辑:admin) |