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一、选择题 1.已知集合  ， ，则 ＝（ ）A.  B.  C.  D.  解：     .从而可得  。 应选 D。2. 当  时，下面四个函数中最大的是（ ）。A.  B.  C.  D.  解：因为 ，所以 。于是有  ， 。又因为  ，即 ，所以有  。因此， 最大。 应选 C。3. 已知椭圆  上一点A到左焦点的距离为 ，则点A到直线 的距离为（ ）A.  B.  C.  D.  解： 设左右焦点为  ，则 ， 。椭圆的离心率为  。而即为右准线，由定义得，A到直线 的距离等于 。 应选C。4.设非常值函数  是一个偶函数，它的函数图像 关于直线 对称，则该函数是 （ ）A. 非周期函数 B.周期为  的周期函数 C. 周期为  的周期函数 D. 周期为的周期函数解：因为偶函数关于ｙ轴对称，而函数图像 关于直线对称，则 ，即  。故该函数是周期为 的周期函数。应选C。5. 如果  ，则使 的 的取值范围为（ ）A.  B.  C.  D.  解：显然  ，且 。  。要使 。当 时， ，即；当时， ，此时无解。由此可得， 使 的的取值范围为。 应选B。6. 设  ，则 （ ）A. １ B. ２ C. ３ D. ４ 解： 作图比较容易得到  。 应选B。二、填空题 7. 已知平面上不共线的四点O,A,B,C。若  ，则 。解：因为  ，所以 。于是有  。因此  。答案为：２。8. 已知数列  ， ，前ｎ项部分和 满足 ，则 。解：     。于是  ，（ ）。答案为：  。9.方程  的解集合为 。解： 当 时， ，（ 取到等号）。而  ，（ 取到等号）。于是有 当 时，方程只有一个解。由于奇函数的性质，可知  是方程的另一解。故方程的解集合为  。10.今天是星期天，再过  天后是星期 。解：    其中  均为正整数。 因此答案为 星期六。 11. 从１至169的自然数中任意取出３个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有 种。 解：若取出的３个数构成递增等比数列  ，则有  。由此有  。当 固定时，使三个数为整数的 的个数记作 。由  ，知应是 的整数部分。 ， ， ， , ， , , , . 因此，取法共有  。 答案为 91 。12. 整数  ，且 ，则 分别为 。解：方程两边同乘以８，得  。 因为 ，所以要使左边为奇数，只有  ，即  。则   。要使左边为奇数，只有  ，即 。从而有  ，即 。故有 。答案为  。三、解答题 13. 设Ｐ，Ｑ为圆周  上的两动点，且满足与圆内一定点 ，使 ，求过Ｐ和Ｑ的两条切线的交点M的轨迹。解法一：连接PQ，OM，由圆的切线性质知  ，且PQ与OM交点E为PQ的中点。…………5分设  ，则 ， 。从而得到E点的坐标为 。 …………10分由于 ，所以 。又 ，于是有  ，即有  ………… 15分化简得  。上述为以  为圆心， 为半径的圆周。 …………20分解法二： 设Ｐ，Ｑ的坐标为  。由题意知，过Ｐ，Ｑ的切线方程分别为 ………… ① ………… ② ………… ③ ………… ④ ………… 5分由  ，得 ………… ⑤若①和②的交点仍记为  ，由此得到 ( ) ………… 10分代入③和④，得     联立上述两式，即得  ………… 15分因为  ，所以 ，即 。同理可得  。于是有  再由⑤式，推出  。由上可得，  。即有 。上述为以 为圆心，为半径的圆周。 …………20分当  时，也符合题设所求的轨迹。14. 设  ， ，求 的最大值。解：  …………5分  …………10分  ， …………15分当  时，上式可以取到等号。故函数 的最大值是 。…………20分15. 设  ，求证： 。证明：因为  ，所以有 。又  ，故有 。…………10分于是有  得证。 …………20分 (责任编辑：admin) |