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正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m位的正整数A，其各位上的数字分别记为  ，则此数可以简记为： （其中 ）。由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的  次多项式，即 ，其中 且，像这种10的多项式表示的数常常简记为 。在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作 ，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。为了具备一般性，我们给出正整数A的p进制表示：  ，其中 且。而  仍然为十进制数字，简记为 。典例分析 例1．将一个十进制数字2004（若没有指明，我们也认为是十进制的数字）转化成二进制与八进制，并将其表示成多项式形式。 分析与解答 分析：用2作为除数（若化为p进位制就以p作为除数），除2004商1002，余数为0；再用2作为除数，除1002商501余数为0；如此继续下去，起到商为0为止。所得的各次余数按从左到右的顺序排列出来，便得到所化出的二进位制的数。 解：
故  ， ；同理，有  ， 。处理与数字有关的问题，通常利用定义建立不定方程来求解。 例2．求满足  的所有三位数 。 （1988年上海市竞赛试题）解：由于  ，则 ，从而 ；当  时， ；当  时， ；当  时， ；当  时， ；当  时， ；于是所求的三位数只有512。 例3．一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。（1979年云南省竞赛题） 解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为  ，则原数  ①颠倒后的新数  ②由②－①得7812＝  即  ③比较③式两端百位、十位、个位数字得  由于原四位数的千位数字  不能为0，所以 ，从而 ，又显然百位数字 ，所以 。所以所求的原四位数为1979。例4．递增数列1,3，4,9，10,12,13，……是由一些正整数组成，它们或是3的幂，或是若个不同的3的幂之和，求该数列的第100项。（第4届美国数学邀请赛试题） 解：将已知数列写成3的方幂形式：  易发现其项数恰好是自然数列对应形式的二进制表示： 即  由于100＝  所以原数列的第100项为  。例5．1987可以在b进制中写成三位数  ，如果 ，试确定所有可能的 和 。 （1987年加拿大数学竞赛试题）解：易知  ，从而 ，即  ，由  知 。由 知 故 ；又因为  有12个正约数，分别为1,2，3,6，9,18,109,218,327,654,981,1962，所以 ，从而 。又由  知 例6．设  是五位数（第一个数码不是零），是由取消它的中间一个数码后所成的四位数，试确定一切使得 是整数。（第3届加拿大数学竞赛试题）解：设  ，其中 且； ；而  是整数，可证 ，即  即  ，这显然是成立的；又可证  ，即＜ 即  ，这显然也是正确的。于是  ，即 ，又因为 是整数，从而 ；于是  ，即＝ 即  ，而 但3  102知 为正整数）从而  ，显然 ，因而推得 其中 。例7．若  且是其各位数字和的倍数，这样的有多少个？（2004年南昌竞赛试题）解：（1）若 为个位数字时，显然适合，这种情况共有9种；（2）若 为100时，也适合；（3）若 为二位数时，不妨设 ，则 ，由题意得 即  即 也就是 ；若  显然适合，此种情况共有9种；若  ，则由 ，故 若  ，则显然可以，此时共有2＋8＝10个；若（  ） 9，则 或 ，这样的数共有24,42,48,84共4个；综上所述，共有9＋1＋9＋10＋4＝33个。 例8．如果一个正整数 在三进制下表示的各数字之和可以被3整除，那么我们称为“好的”，则前2005个“好的”正整数之和是多少？（2005年中国奥林匹克协作体夏令营试题）解：首先考虑“好的”非负整数，考察如下两个引理： 引理1.在3个连续非负整数  （是非负整数）中，有且仅有1个是“好的”。证明：在这三个非负整数的三进制表示中，0,1，2各在最后一位出现一次，其作各位数字相同，于是三个数各位数字之和是三个连续的正整数，其中有且仅有一个能被3整除（即“好的”），引理1得证。 引理2.在9个连续非负整数  （是非负整数）中，有且仅有3个是“好的”。把这3个“好的”非负整数化成三进制，0,1，2恰好在这三个三进制数的最后一位各出现一次。证明：由引理1不难得知在9个连续非负整数  （是非负整数）中，有且仅有3个是“好的”。另一方面，在这三个“好的”非负整数的三进制表示中，最高位与倒数第三位完全相同，倒数第二位分别取0,1，2。若它使它们成为“好的”非负整数，则最后一位不相同，引理2得证。 将所有“好的”非负整数按从小到大的顺序排成一列，设第2004个“好的”非负整数为 ，根据引理1，得  ，即 。设前 个“好的”正整数之和为 ，由于前2003个“好的”正整数之和等于前2004个“好的”非负整数之和。因此  ；又因为  和 都是“好的”正整数。因此前2005年“好的”正整数之和是： 。(责任编辑：admin) |
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