|
由题设知(2q+1)2=3•(2q2+1)， 解得q=1，以下同解法1. 二、填空题 9.设f(x)=12x+2，则f(-9)+f(-8)+…+f(0)+…+f(9)+f(10)的值为________. [答案] 52 [解析] ∵f(-n)+f(n+1)=12-n+2+12n+1+2=2n1+2n•2+12n+1+2=2n•2+12n+1+2=22， ∴f(-9)+f(-8)+…+f(0)+…+f(9)+f(10)=52. 10.(2011•启东模拟)对于数列{an}，定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”，若a1=2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn=________. [答案] 2n+1-2 [解析] ∵an+1-an=2n， ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =2n-1+2n-2+…+22+2+2 =2-2n1-2+2=2n-2+2=2n， ∴Sn=2-2n+11-2=2n+1-2. 11.(2011•江门模拟)有限数列A={a1，a2，…，an}，Sn为其前n项的和，定义S1+S2+…+Snn为A的“凯森和”;如果有99项的数列{a1，a2，…，a99}的“凯森和”为1000，则有100项的数列{1，a1，a2，…，a99}的“凯森和”为________. [答案] 991 [解析] ∵{a1，a2，…，a99}的“凯森和”为 S1+S2+…+S9999=1000， ∴S1+S2+…S99=1000×99， 数列{1，a1，a2，…，a99}的“凯森和”为：1+S1+1+S2+1+…+S99+1100 =100+S1+S2+…+S99100=991. 三、解答题 12.(2010•重庆文)已知{an }是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为{an}的前n项和. (1)求通项an及Sn; (2)设{bn-an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn. [解析] 本题主要考查等差数列的基本性质，以及通项公式的求法，前n项和的求法，同时也考查了学生的基本运算能力. (1)因为{an}为首项a1=19，公差d=-2的等差数列， 所以an=19-2(n-1)=-2n+21， Sn=19n+nn-12(-2)=-n2+20n. (2)由题意知bn-an=3n-1，所以bn=3n-1-2n+21 Tn=b1+b2+…+bn=(1+3+…+3n-1)+Sn =-n2+20n+3n-12. 13.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n. (1)求证：数列{an}是等差数列; (2)若bn=an•2n，求数列{bn}的前n项和Tn. [解析] (1)证明：a1=S1=-1， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5. 又a1适合上式，故an=4n-5(n∈N*). 当n≥2时，an-an-1=4n-5-4(n-1)+5=4， 所以{an}是等差数列且d=4，a1=-1. (2)bn=(4n-5)•2n， ∴Tn=-21+3•22+…+(4n-5)•2n，① 2Tn=-22+…+(4n-9)•2n+(4n-5)•2n+1，② ①-②得 -Tn=-21+4•22+…+4•2n-(4n-5)•2n+1 =-2+4•41-2n-11-2-(4n-5)•2n+1 =-18-(4n-9)•2n+1， ∴Tn=18+(4n-9)•2n+1. 14.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，且an+2SnSn-1=0(n≥2)， (1)求数列{Sn}的通项公式; (2)设Sn=1fn，bn=f(12n)+1.记Pn=S1S2+S2S3+…+SnSn+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，试求Tn，并证明Pn<12. [解析] (1)解：∵an+2SnSn-1=0(n≥2)， ∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0. ∴1Sn-1Sn-1=2.又∵a=1， ∴Sn=12n-1(n∈N+). (2)证明：∵Sn=1fn，∴f(n)=2n-1. ∴bn=2(12n)-1+1=(12)n-1. Tn=(12)0•(12)1+(12)1•(12)2+…+(12)n-1•(12)n=(12)1+(12)3+(12)5+…+(12)2n-1 =23[1-(14)n]. ∵Sn=12n-1(n∈N+) ∴Pn=11×3+13×5+…+12n-12n+1 =121-12n+1<12. 15.(2010•山东理)已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn. (1)求an及Sn; (2)令bn=1an2-1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. [解析] 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练掌握数列的基础知识是解答好本类题目的关键.对(1)可直接根据定义求解，(2)问采用裂项求和即可解决. (1)设等差数列{an}的公差为d，因为a3=7，a5+a7=26， 所以有a1+2d=72a1+10d=26，解得a1=3，d=2， 所以an=3+2(n-1)=2n+1; Sn=3n+nn-12×2=n2+2n. (2)由(1)知an=2n+1，所以bn=1an2-1=12n+12-1=14•1nn+1=14•1n-1n+1， 所以Tn=14•1-12+12-13+…+1n-1n+1 =14•1-1n+1=n4n+1， 即数列{bn}的前n项和Tn=n4n+1. [点评] 数列在高考中主要考查等差、等比数列的定义、性质以及数列求和，解决此类题目要注意合理选择公式，对于数列求和应掌握经常使用的方法，如：裂项、叠加、累积.本题应用了裂项求和. (责任编辑：admin) |