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（3） 原命题即为“若sinα≠，则α≠30°”，逆命题为“若α≠30°，则sinα≠”，否命题为“若sinα=，则α=30°”，逆否命题为“若α=30°，则sinα=”.直接判断原命题与逆命题真假有些困难，但考虑到原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，因此可以先考虑逆否命题和否命题；由三角函数的知识，可知原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题. 突破 对于判断命题的真假，我们需要先弄清何为条件、何为结论，然后根据相应的知识进行判断，当原命题不容易直接判断时，可以先判断其逆否命题的真假性，从而得到原命题的真假性. 2. “充分条件和必要条件”的难点在于充要性的判断 例2 在下列命题中，判断p是q的什么条件.（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种） （1） p:|p|≥2，p∈R；q:方程x2+px+p+3=0有实根. （2） p：圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切；q：c2=（a2+b2）r2，其中a2+b2≠0，r≠0. （3） 设集合M={x|x＞2}，N={x|x＜3}，p：x∈M∩N；q:x∈M∪N. 解析 （1） 当|p|≥2时，例如p=3，此时方程x2+px+p+3=0无实根，因此“若p则q”为假命题；当方程x2+px+p+3=0有实根时，根据判别式有p≤-2或p≥6，此时|p|≥2成立，因此“若q则p”为真命题.故p是q的必要不充分条件. （2） 若圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切，则圆心（0，0）到直线ax+by+c=0的距离等于r，即r=，化简可得c2=（a2+b2）r2，因此“若p则q”为真命题；反过来，由c2=（a2+b2）r2，可得r=，即圆心（0，0）到直线ax+by+c=0的距离等于r，由解析几何知识得圆与直线相切，因此“若q则p”为真命题.故p是q的充要条件. （3） M∩N=（2，3），M∪N=R，若x∈（2，3），此时显然有x∈R，因此“若p则q”为真命题；反过来，若x∈R，例如x=5，此时x?埸（2，3），因此“若q则p”为假命题.故p是q的充分不必要条件. 突破 ①从逻辑的观点理解：判断充分性、必要性的前提是判断给定命题的真假性，若“若p则q”为真命题，则p是q的充分条件；若“若q则p”为真命题，则p是q的必要条件；若两者都是真命题，则p是q的充要条件；若两者都是假命题，则p是q的既不充分也不必要条件.②从集合的观点理解：建立命题p，q相应的集合. p：A={x|p（x）成立}，q：B={x|q（x）成立}.那么:若A?哿B，则p是q的充分条件；若B?哿A，则p是q的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件.若A?芫B且B?芫A，则p是q的既不充分也不必要条件. 例3 已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1. 解析 充分性:当q=-1时，a1=p-1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn-1（p-1）.于是当n≥1时，=p，即数列{an}为等比数列. 必要性：当n=1时，a1=S1=p+q；当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =pn-1（p-1）.因为p≠0且p≠1，于是=p.又因为数列{an}为等比数列，所以==p，即=p，解之得q=-1. 综上所述，q=-1为数列{an}为等比数列的充要条件. (责任编辑：admin) |