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高二数学备考:突破数学命题难点及解析(2)

http://www.newdu.com 2020-05-07 新东方网 佚名 参加讨论

    (3) 原命题即为“若sinα≠,则α≠30°”,逆命题为“若α≠30°,则sinα≠”,否命题为“若sinα=,则α=30°”,逆否命题为“若α=30°,则sinα=”.直接判断原命题与逆命题真假有些困难,但考虑到原命题与逆否命题等价,逆命题与否命题等价,因此可以先考虑逆否命题和否命题;由三角函数的知识,可知原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题.
    突破 对于判断命题的真假,我们需要先弄清何为条件、何为结论,然后根据相应的知识进行判断,当原命题不容易直接判断时,可以先判断其逆否命题的真假性,从而得到原命题的真假性.
    2. “充分条件和必要条件”的难点在于充要性的判断
    例2 在下列命题中,判断p是q的什么条件.(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种)
    (1) p:|p|≥2,p∈R;q:方程x2+px+p+3=0有实根.
    (2) p:圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切;q:c2=(a2+b2)r2,其中a2+b2≠0,r≠0.
    (3) 设集合M={x|x>2},N={x|x<3},p:x∈M∩N;q:x∈M∪N.
    解析 (1) 当|p|≥2时,例如p=3,此时方程x2+px+p+3=0无实根,因此“若p则q”为假命题;当方程x2+px+p+3=0有实根时,根据判别式有p≤-2或p≥6,此时|p|≥2成立,因此“若q则p”为真命题.故p是q的必要不充分条件.
    (2) 若圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切,则圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于r,即r=,化简可得c2=(a2+b2)r2,因此“若p则q”为真命题;反过来,由c2=(a2+b2)r2,可得r=,即圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于r,由解析几何知识得圆与直线相切,因此“若q则p”为真命题.故p是q的充要条件.
    (3) M∩N=(2,3),M∪N=R,若x∈(2,3),此时显然有x∈R,因此“若p则q”为真命题;反过来,若x∈R,例如x=5,此时x?埸(2,3),因此“若q则p”为假命题.故p是q的充分不必要条件.
    突破 ①从逻辑的观点理解:判断充分性、必要性的前提是判断给定命题的真假性,若“若p则q”为真命题,则p是q的充分条件;若“若q则p”为真命题,则p是q的必要条件;若两者都是真命题,则p是q的充要条件;若两者都是假命题,则p是q的既不充分也不必要条件.②从集合的观点理解:建立命题p,q相应的集合. p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}.那么:若A?哿B,则p是q的充分条件;若B?哿A,则p是q的必要条件;若A=B,则p是q的充要条件.若A?芫B且B?芫A,则p是q的既不充分也不必要条件.
    例3 已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.
    解析 充分性:当q=-1时,a1=p-1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).于是当n≥1时,=p,即数列{an}为等比数列.
    必要性:当n=1时,a1=S1=p+q;当n≥2时,an=Sn-Sn-1
    =pn-1(p-1).因为p≠0且p≠1,于是=p.又因为数列{an}为等比数列,所以==p,即=p,解之得q=-1.
    综上所述,q=-1为数列{an}为等比数列的充要条件. (责任编辑:admin)
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