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一类电学问题极值的两种解法

http://www.newdu.com 2018-12-01 人民教育出版社 佚名 参加讨论

    一类电学问题极值的两种解法
    江苏省泰州中学 高峰
    
    一、基本题型
    例1 如图1所示,一电源的电动势为E,内阻为r,当变阻箱的阻值调至多大时,其消耗的功率最大?最大值是多少?
    
    【分析】因变阻箱的阻值在变化,通过它的电流在变化,其两端的电压也在变化。这是一类求解阻值在变化的电阻消耗的功率极值的典型问题。
    当R↑时,I↓,由P=I2R知当R调到某一阻值时,其消耗的功率应出现最大值。由上述分析可知,IR在变化,因此可以将P表示成R的函数,这样就能利用数学方法求功率的极值。
    【方法一】配方法:
    =====
    则当R-r=0时,即R=r时,PR有最大值
    =
    【方法二】基本不等式法:
    =====
    当且仅当=,即R=r时取等号
    二、引申题型
    例2 如图2所示,一电源电动势为E,内阻为r,定值电阻阻值为R0,当变阻箱的阻值调至多大时,其消耗的功率最大?最大值是多少?
    
    【解析】R0是定值电阻,可将R0等效为电源的内电阻,即电源的内阻为(R0+r),则根据基本题型的解法,当R=R0+r时,其消耗的功率最大,最大值为E2/4(R0+r)。
    三、例题解析
    例3 如图3所示,R1=2Ω,R2=R3=6Ω,滑动变阻器R4的总阻值为6Ω,电源电动势E=6V,内阻r=1Ω,当滑动变阻器的滑动触头P置于何处时,R4消耗的功率最大,最大值是多少?
    
    【解析】首先要对整个电路有明确的认识。由于R3和R4的触头P上部的电阻等势,这一部分电路被短路,电路是这样连接的:R2和R4的触头P下部的电阻并联后和R1串联,R4只有触头P下部的电阻消耗电能。
    =
    代入数据,化简得:
    ===
    当R4=2Ω时,Pmax=2W
    或解:==2W
    当且仅当=,即R4=2Ω时取等号。
    例4 如图4所示,电源电动势为E,内电阻为r,A、B两个定值电阻的阻值分别为R1和R2,今调节可变电阻C,使其获得不同的电功率。试确定使可变电阻C出现最大功率时C的阻值R3,并导出其最大功率的表达式。(北京市普通高中毕业会考试题)
    
    【解析C所消耗的功率的表达式为
    
    上式中的R3是变量,但本题用配方法显然太繁琐,且计算过程中容易出错,这时用基本不等式求解就很方便。
    
    
    当且仅当时,即时取得最大值。
    四、总结
    对于这类阻值变化的电阻消耗的最大功率的题型,先写出功率的表达式,即关于可变阻值的函数,在分别应用配方法或基本不等式求解即可。 (责任编辑:admin)
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