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关于机械能概念的发展与拓展 江苏省丰县中学 戴儒京 机械能包括动能和势能，势能又包括重力势能和弹性势能。本文在教科书的基础上，拓宽、加深机械能的概念。 1．动能 动能的概念是在前辈物理学家科学实验和科学研究的基础上发展起来的。 17世纪中期，在英国刚成立的皇家学会第一次年会上，一位工程师表演了以下一个有趣的实验：实验装置如图1所示。用两根细线把质量相等的A．B两球悬挂起来，当拉起来其中一球如A球，释放后，A球运动到最低点与B球相碰，碰撞后A球不动，B球能上升到几乎与A球最高位置相同的高度，然后B球返回后又与A球相碰，B球停下来，A球升到几乎相同的高度，然后周而复始。  为什么A球与B球相碰后，A球会停下来呢？ 当时，物理学家中只有“运动量”（即教科书中的动量）的概念和动量守恒的定律，动量这个概念是笛卡尔、牛顿先后提出的，并且笛卡尔明确地把物体的质量与速度的乘积作为物体运动量的量度。那么动量守恒就可以用公式表示，设两球质量为m，A球与B球碰前的速度为  ，B球速度为0，碰后A．B球的速度分别为 、 ，则有： 如果只有动量守恒定律，那么结果会有很多种情况，例如  ， ； ， 或 ， 等等，但实验结果只有一种，即  。这位工程师征求物理学家们对此作出合理的解释。 与牛顿同时代的物理学家惠通斯对此实验反复、仔细研究后认为，在A．B碰撞过程中，除动量守恒外，还得出了“各个质量和各个速度的2次方的乘积之和，在碰撞前后不变”。这个物理量，即“质量和速度的2次方的乘积”被德国的莱布尼兹叫做“活力”，即活力=  。那么A．B碰撞过程的“活力” 守恒便可写为如下公式： 两式联立起来，便可解出唯一结果：，解法如下：两式皆移项得：   得：   得：  得： 果然能够解释这个现象。 这个实验还可以做得更精彩些，即用多个质量相同的小球，例如4个，如图2所示，将球1拉高放手后，与球2相碰，最终球1球2球3都静止，只有球4升高，返回后再碰，球4球3球2皆静止，只有球1升高，我在课堂上做过，同学们很感兴趣。  后来，这个“活力”的概念又发展为动能的概念。 如果用力F（恒力）对外物体（质量  ）作用，如图3所示，使物体在F的方向运动了距离 ，物体从静止获得速度 ，则F做功为 ，所以定义： 。 如果物体初速度为  ，则做功为： 即外界对物体做的功等于物体的动能的增加，这就是动能定理。 那么，用这个动能的概念去代替“活力”的概念能否解释上述实验呢？能！用  换掉式中的，不影响、两式的解。但用“活力”的概念代替“动能”的概念，式便不成立了。因为概念要具有普通性，所以 “活力”的概念不如动能的概念更有“活力”，所以动能概念逐渐被人们接受。 2．关于重力势能 教科书给出的重力势能的概念是：  ，即重力势能等于质量、重力加速度、高度三者的乘积。这个概念是在这样的前提下成立的，一是设地面为零势能面即高度为零，  是物体相对地面的高度。二是在物体不太高的情况下（在人通常活动范围内），认为 是不变的。这个概念有点狭隘，我们不妨把眼界放开阔点，走到离地面更高的高度或更远的地方，设物体离地心的距离为  ，比地球半径R大得多，则设物体受地球的吸引力为 （万有引力定律），那么物体的重力势能为 ，这个公式是以无穷远作为零势能面，把物体从无穷远处移到处，因为地球引力做功，所以引力势能减少，所以势能为负。公式的来源要用到积分，同学们数学还没有学到，我在此写出来，同学们不懂的可以隔过去：  。这个定义和 在定性分析上是一致的，对于，越大， 越大；对于 ，越大，越大，所以二者不矛盾。有一个题目，每一届都有学生不明白，引入这个重力势能概念后，便可以讲明白了。题目是：设人造卫星在轨道半径为  的轨道上以速度为正常运转，因向后喷气体后速度减小（或受空气阻力作用后速度减小），后来会到达新的轨道（半径为 、速度为 ）继续运转，则A．  > B． < C． >， D． <有的同学这样思考这个题目： 根据人造卫星正常运转时，万有引力等于向心力，有  得 即  由于减少，所以增大，选B．C。这个答案是错误的，错误的原因在于没考虑过程，即人造卫星速度减少后怎么能够向远离地球的方向运动呢？回答是相反的，因为，在正常运转时，符合式，如果速度减少，则万有引力大于向心力，万有引力比向心力多余的部分会使卫星向靠近地球的方向运动，即作向心运动而不是离心运动，只有速度变大时，才能作离心运动。所以答案应选A。 但有同学不理解，因为根据式，若是 小了，就应该大，即使卫星做向心运动，那么怎么能在比 小的轨道上正常运行呢？原来同学们只考虑其一，而忘掉其二，在卫星靠近地球运动的过程中，机械能守恒而不是速度守恒，机械能是包括动能和势能的，根据机械能守恒有：  。由于 <， ，也就是说，在卫星从轨道运动到轨道的过程中，引力势能 减少了，而动能增大了，所以在新的轨道上的速度不是在原轨道上由于反冲力而减少了的速度，反而是由于引力势能的减少，而动能增加，即增加了速度。由于 ，所以 < ，与式不矛盾。所以，正确答案是A．D。但是，仅根据  势能的这个概念，就不容易解释为什么>,根据机械能守恒的公式： 及 其中  ，不能判断与的大小。可见，研究物理问题要全面，不仅要看“结果”，更要看过程，不仅要看速度，更要看能量，不仅要看动能，更要看整个的机械能。当然，在更广阔的领域，机械能守恒定律也推广为更广泛的能量守恒定律。 3．关于弹性势能 弹性势能，教科书只给了定性的说明，即弹簧的伸长（或压缩）量  越大，弹性势能越大。在此我们给出它的定量的公式，即 ，其中，k为弹簧的劲度系数，仍为弹簧的伸长（或压缩）量，即为弹性势能。公式推导如下：设用外力F使弹簧从原长伸长 ，由于力 （力的大小），力是变力，不能直接用公式W=F计算，F做功可用图象求，如图4，功W可用F-图象下的（面积）表示，即 由于外力做的功等于物体的弹性势能，所以 。 图4 那么。如果力F使弹簧从伸长  状态到伸长 状态，如图5，则弹力做功为图中梯形的面积即为： 。
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