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《万有引力定律的成就》讲与练 陕西省宝鸡市陈仓区教育局教研室 邢彦君 一、内容 1．计算天体的质量 （1）利用围绕某天体圆周运动的天体的轨道半径r、运动周期T，由关系式  可计算出该天体的质量。（2）利用测得的某天体表面的重力加速度g、天体的半径R， 由关系式  可计算出该天体的质量。2．计算天体运动的加速度、速度、及周期 （1）已知中心天体的质量M，环绕运动天体的轨道半径r，由关系式  、 、 、 可计算出运动天体的加速度、线速度、角速度及周期。（2）已知中心天体表面的重力加速度g，半径R，运动天体的轨道半径r，由上述基本关系式及“黄金代换”关系，也可计算运动天体的加速度、线速度、角速度及周期。 3．发现“未知”天体：如果某天体环绕运动过程中，在某区域，轨道偏离原轨道，说明此区域存在尚未观测到的天体，依据轨道的偏离情况，运用万有引力定律及其它力学规律，可测算出“未知”天体的位置、质量等。 二、重难点 1．分析求解天体运动问题时，将运动天体与中心天体视为质点，天体的环绕运动是匀速圆周运动，中心天体对运动天体的万有引力充当向心力，不考虑中心天体以外的其它天体的万有引力。 2．对于人造天体的圆周运动，它运动的加速度、线速度、角速度、周期，受轨道半径的制约，轨道半径变化，这些量随之改变。 三、易混点 1．中心天体与环绕运动天体：利用基本关系式，只能计算出处在轨道中心的中心天体的质量，无法计算出环绕运动天体的质量。 2．公转周期与自转周期：利用基本关系 时，式中的周期是环绕运动的天体绕中心天体公转的周期，不是环绕运动的天体自转的周期。3．圆周运动与双星运动：两颗相距较近的天体，其中的一天体不环绕另一天体运动，两者共同环绕其内侧连线上某一点做圆周运动，运动中两天体的轨道是同心圆。若两天体的质量悬殊，则它们运动的公共圆心离质量较大的天体很近，此时的双星运动可视为小质量天体环绕大质量天体的圆周运动。 4．“黑洞”与天体：“黑洞”是指质量或密度非常大的天体，其它天体可以环绕其运动，它也可以环绕其它天体运动，它也可与其它天体形成双星。 四、题型与方法 1．对于环绕运动，分析求解的基本思路与方法，就是万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动规律的综合运用。可视问题情境灵活选用 、、、中的某一个，还可灵活运用“黄金带换”关系。2．对于有自转的天体，其上各部分物体随天体的自转做圆周运动，不同纬度处的同质量物体，圆周运动的轨道半径不同，赤道上的物体自转的轨道半径最大，所需向心力最大。当赤道上物体恰要被甩出时，它与天体表面的作用力为零，只是万有引力充当向心力。由  可求出天体自转的最大角速度。若已知天体自转的最大角速度，利用此式和 可求出天体的最小平均密度。3．双星运动中的相等量：双星运动中，两天体的向心力相等，角速度相等，周期相等。 例1．开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即  ，k是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，已知引力常量为G，太阳的质量为M太。（1）请你推导出太阳系中该常量k的表达式。 （2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为3.84×108m，月球绕地球运动的周期为2.36×106s，试计算地球的质M地。（G=6.67×10-11Nm2/kg2，结果保留一位有效数字） 解析：（1）因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r。由万有引力定律和牛顿第二定律有：  。解得： 。对比开普勒第三定律得： 。（2）在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，对月球绕地球的运动，由上述结论有：  ，代入数据解得：M地=6×1024kg 。 例2．如图1所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在彼此引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。（1）求两星球做圆周运动的周期； （2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数） 解析：（1）A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等。且A和B和O始终共线，则 A和B有相同的角速度或周期。因此有：  ， 。解得： ， 。对A由牛顿第二定律和万有引力定律有： 。化简得： 。（2）将地月看成双星，则  。将月球看作绕地心做圆周运动，由牛顿第二定律和万有引力定律有： 。解得： 。所以两种周期的平方比值为： 。例2．中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为  。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解？（计算时星体可视为均匀球体。）解析：设中子星的质量为M，赤道半径是R，对于中子星赤道上质量为m的部分物质，有关系式：  ，而 ，令N=0代入数据解得： 。因此，该中子星的最小密度是时才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解。五、强化训练 1．一物体静置在平均密度为  的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为A．  B． C． D． 2．火星探测项目是我国继神舟载人航天工程、嫦娥探月工程之后又一个重大太空探索项目。假设火星探测器在火星表面附近圆轨道运行的周期为  ，神舟飞船在地球表面附近的圆形轨道运行周期为 ，火星质量与地球质量之比为 ，火星半径与地球半径之比为 ，则与之比为A．  B． C． D． 3．冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O点运动的 A．轨道半径约为卡戎的  B．角速度大小约为卡戎的C．线速度大小约为卡戎的7倍速 D．向心力大小约为卡戎的7倍 强化训练参考答案与练习 1．D 解析：由  及可解得： 。本题选D。2．D 解析：对火星探测器的环绕运动有：  ，对神舟飞船的环绕运动有： 。依题意有： ， 。解得： 。本题选D。3．A 解析：双星系统中两天体在彼此之间的万有引力作用下做匀速圆周运动，所以向心力，角速度，周期均相等；由有基本关系  可得： 。所以轨道半径之比是质量的反比；线速度 ，所以线速度之比为半径之比为1∶7。
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