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    对象不同用法有异
    ──谈机械能守恒定律的应用
    江苏省靖江市季市中学　范晓波
    能量转化和守恒定律是自然界四大基本规律之一，机械能守恒定律又是能量守恒定律在机械运动中的具体表现形式，由于机械能守恒定律不涉及运动过程中的加速度和时间，用它来处理动力学问题要远比牛顿运动定律方便。机械能守恒定律适用的对象可以是单个物体（弹簧）和地球组成的系统，也可以是多个物体（弹簧）和地球组成的系统。不过，对象不同，在守恒的判断上、运用的方式上略有差异。
    机械能包括动能、重力势能和弹性势能三种，由于重力势能属于物体和地球组成的系统，因此，只要涉及重力势能，地球就必定是研究对象的一部分，也正因为如此，在交代研究对象时地球可以不特别指明。
    一、单个物体（弹簧）和地球组成的系统
    机械能守恒条件：
    （1）只受重力或系统内弹簧弹力；（注意：从研究对象的组成可知，重力也属内力）
    （2）受其它外力，但其它外力不做功；
    （3）其它外力做功，但其它外力做功的代数和始终为0。
    满足上述三个条件中任何一个，该系统的机械能都守恒。其中第三个条件需要进行一点补充说明，以沿水平公路匀速直线运动的汽车为例，运行过程中，发动机内部燃烧汽油，一部分化学能转化为机械能，同时，汽车克服阻力做功，一部分机械能又转化为内能，两个转化过程中机械能变化的数值相等，因此汽车机械能的总量保持不变。正因如此，严格地讲，第三个条件不属于机械能守恒的条件之列，只是研究过程中机械能的数值始终保持不变而已。
    例：如图所示，小球从某一高处自由下落到竖直放置的轻弹簧上，在将弹簧压缩到最短的过程中，下列关于机械能的叙述中正确的是（   ）

    （A）重力势能和动能之和总保持不变
    （B）重力势能和弹性势能之和总保持不变
    （C）动能和弹性势能之和总保持不变
    （D）重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变
    分析：这是一个经典问题，难点在于研究对象的选择。若以小球、地球组成的系统为对象，弹簧弹力属于外力，系统机械能不守恒；若以小球、弹簧、地球组成的系统为对象，弹簧弹力属于内力，系统机械能守恒。
    解：应选D选项。
    说明：涉及弹簧的问题一定要注意弹簧是否为系统的组成部分，因为这将决定弹簧弹力到底属于内力还是外力，有没有外力对系统做功，系统的机械能是否守恒？
    例：如图所示，均匀铁链长为

，平放在距离地面高为

的光滑水平面上，其长度的

悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，求铁链下端刚要着地时的速度？

    分析：将铁链与地球组成一个系统，由于桌面的弹力对铁链不做功，只有重力做功，因此系统的机械能守恒。另外，铁链下落前，形状不规则，重力势能最好分段计算，但要注意质量的对应性。
    解：选取桌面为零势能面，对铁链与地球组成的系统由机械能守恒定律可得：

即

解得：

说明：此题也可选取地面为零势能面求解。零势能面选取不同，列出的表达式不同，虽然最后解得的结果是一样的，但解方程时的简易程度明显不同。因此，灵活、准确地选取零势能面，往往会给题目的求解带来方便。如果想避开零势能面的选取，可考虑使用

列方程。
    二、多个物体（弹簧）和地球组成的系统
    机械能守恒的条件：
    （1）系统外部无作用力对系统内部物体做功

确保系统外部与内部之间无机械能的转移；
（2）系统内部无滑动摩擦力、流体的阻力、爆炸力等做功

确保系统内部无机械能与其它形式能的转化。
必须同时满足这两个条件，该系统的机械能才守恒。而且系统的机械能应理解成内部包含的所有物体机械能的总和。当然处理实际问题时，往往有部分物体的部分种类能量没有发生变化，因此，对多个物体（弹簧）和地球组成的系统使用机械能守恒定律时，表达式写成

更简单。
例：如图所示，一根长为

的轻杆中点和端点分别固定着两个完全相同的小球

、

，小球质量为

，杆在竖直平面内绕另一端

无摩擦地转动。使杆由水平位置无初速释放，求到达竖直位置时，

、

两球的速度大小。

分析：设想

球、

球各用长为

和

的轻绳组成单摆，把它们同时拉至水平位置，放手后由实验可知，

球先摆到最低点，即绳子越短，摆到最低点时间也越短。再设想将两球用绳固定，

在中点，

在端点，让它们同时从水平位置释放，运动过程中必定会出现

球在前、

球在后的情况。如下图所示，将绳换成轻杆，由于杆子不能弯折，

球必受杆的切向阻力，

球必受杆的切向动力，即

、

两球在运动过程中各自的机械能都不守恒。但由于阻力对

球做的负功与动力对

球做的正功代数和为零，故对

、

（含轻杆）、地球组成的系统而言，机械能是守恒的。

解：

、

（含轻杆）、地球组成的系统机械能守恒，如图，设轻杆转到竖直位置时，

、

两球的速度大小分别为

、

。则

又因为

、

固定在同一根杆上，角速度相等，即

联立求解得：

，

说明：用

表达式时不必规定零势能面，因为重力势能的改变量与零势能面的选取没有关系。
例：如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角

，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块

和

连接，

的质点为

，

的质量为

，开始时将

按在地面上不动，然后放开手，让

沿斜面下滑而

上升。已知物块A与斜面间无摩擦，若

沿斜面下滑

距离后，细线突然断了，求物块

上升的最大高度

。

分析：细线断裂前，

、

（含细线）、地球组成的系统满足机械能守恒的条件；细线断裂后，

、地球组成的系统不受其它外力，机械能也守恒。
解：设细线断裂瞬间，

、

的速度大小为

，对

、

（含细线）、地球组成的系统由机械能守恒定律可得：

则：

细线断裂后，设

继续上升的高度为

，对

、地球组成的系统由机械能守恒定律可得：

则

所以

    说明：与运动有关的连接体问题一般优先从能量的角度进行分析。对连接体和地球组成的系统，分别检查外力和内力做功的情况，满足机械能守恒条件就使用机械能守恒定律，不满足则考虑使用能量守恒定律。
    三、流体（或连续体）和地球组成的系统
    借助等效的思想确定重力势能的变化量是处理流体（或连续体）问题常用的技巧。
    例：如图所示，粗细均匀的

形管内装有总长为

的水。开始时阀门

闭合，左右两管内水面高度差为

。打开阀门

后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？（管的内部横截面很小，摩擦阻力忽略不计）

分析：由于摩擦阻力忽略不计，故水柱的机械能守恒。从初始状态到左右两管水面相平为止，相当于有长

的水柱由左管移到右管。
解：如图，从打开阀门到左右水面刚好相平的过程中，整个水柱势能的减少量等效于高

的水柱降低

重力势能的减少。
设水柱总质量为

，则由机械能守恒定律可得：

则

说明：本题在应用机械能守恒定律时仍然用

建立方程，在计算系统重力势能变化时用了等效的思想，但需要注意研究对象仍然是整个水柱，当左右两管水面相平时，整个水柱中的每一部分速率都相等。
    功能关系、机械能守恒定律是动力学和运动学知识的综合发展，一般运用在物理情境比较复杂的问题中，需要周密细致的分析受力情况、做功情况才能确保规律的使用万无一失。
    变式练习：
    1．如图所示，总长为

的光滑匀质的铁链，跨过一光滑的轻质小定滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时，某一端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间，其速度多大？