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《3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题（2）》测试题 一、选择题 1.(2012安徽文)若  满足约束条件  ，则 的最小值是( ).A.  B. C. D. 考查目的：考查线性规划的有关概念和求解方法，考查数形结合思想. 答案：A. 解析：约束条件对应的可行域为  内部(包括边界)，其中 ， ， ，∴ .2. (2010浙江理)若实数 满足不等式组 ，且 的最大值为9，则实数 ( ).A.  B. C.1 D.2考查目的：考查二元一次不等式组的平面区域，以及简单的转化思想和数形结合的思想. 答案：C. 解析：将最大值转化为目标函数  表示的直线在 轴上的截距，将 等价为斜率的倒数，作出前两个不等式表示的平面区域为两条直线的斜上方区域，由题意可知，直线 应与此区域围成一个三角形区域，所以必有 ，且目标函数在直线 与直线的交点 处取得最大值，因此 ，解得 .3.给出如图所示的平面区域，其中  .若使目标函数 取得最大值的最优解有无穷多个，则 的值是( ). A.  B. C.2 D.考查目的：考查线性规划问题、直线的斜率公式等基础知识，考查数形结合和分析判断能力. 答案：B. 解析：目标函数 表示斜率为 的直线， 是该直线在轴上的截距. 因为目标函数取得最大值的最优解有无穷多个，所以直线必经过的 边或 边( 边所在直线斜率不存在). 若经过边，则取得最小值，不合题意；该直线经过边时，取得最大值，此时，线段上的点都是最优解，所以 ， .二、填空题 4.(2009山东文)某公司租赁甲、乙两种设备生产  两类产品，甲种设备每天能生产 类产品5件和 类产品10件，乙种设备每天能生产类产品6件和类产品20件. 已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产类产品50件，类产品140件，则所需租赁费最少为__________元.考查目的：考查线性规划问题在实际中的应用. 答案：2300. 解析：设生产甲种设备需要  天，生产乙种设备需要天，该公司所需租赁费为元，则 ，根据题意得线性约束条件为 ，即: .作出可行域(图略).由的几何意义可知，当对应的直线过两直线 的交点(4，5)时，目标函数取得最小值2300元.5.(2012上海文)满足约束条件  的目标函数 的最小值是 .考查目的：考查线性规划问题、作图能力和数形结合思想. 答案： . 解析：根据题意得  ，或 ，或 ，或 ，其可行域为平行四边形 及其内部区域，如图所示. 目标函数表示斜率为1的直线，由的几何意义可知，当该直线过点 时有最小值，此时 .6.(2012江苏卷)已知正数  满足 则 的取值范围是 .考查目的：考查线性规划问题、直线的斜率概念与公式、导数的几何意义、直线的方程等基础知识，以及等价转化思想与数形结合思想. 答案：  .解析：条件  ， 可化为 .设 ， ，则题目转化为：已知满足 ，求 的取值范围. 作出可行域如图所示(阴影部分)， 的几何意义为阴影部分内的点与原点连线的斜率. 求出 的过原点的切线方程为 ，易知切点 位于之间，∴的最小值为 .∵ ，∴的最大值为 ，因此的取值范围为 ，即的取值范围是.三、解答题 7.某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个. 问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？ 考查目的：考查线性规划问题、应用数学知识解决实际问题的能力. 答案：20，24. 解析：设每天生产甲、乙两种产品分别为 吨、吨，利润总额为万元，根据题意，得线性约束条件为 ，目标函数为 .作出可行域如图所示.作直线 ，并将其向可行域平移. 由的几何意义可知，当平移至经过点时，目标函数取得最大值. 解方程组  ，可得点坐标为 ，∴ (万元).答：每天应生产甲产品20吨，乙产品24吨，才能使利润总额达到最大，为428万元. 8.(2010广东理)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐. 已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C. 另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？ 考查目的：考查二元一次不等式组表示的平面区域、线性规划问题等基础知识和方法，考查数形结合能力和应用数学知识解决实际问题的能力. 答案：4个单位的午餐、3个单位的晚餐. 解析：设该儿童分别预订 个单位的午餐和晚餐，共花费元，则 .根据题意得，线性约束条件为 ，即 .作出可行域如图所示，并作出直线 .由的几何意义可知，当将 平移至经过点时，目标函数取得最小值. 由方程组  可求得 恰好为整点，此时 .答：应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，既能满足营养要求，又可使花费最少. (责任编辑：admin) |