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《1.2 应用举例（1）》测试题 一、选择题 1.飞机沿水平方向飞行，在  处测得正前下方地面目标 的俯角为 ，向前飞行 米，到达 处，此时测得目标的俯角为 ，这时飞机与地面目标的直线距离为( ).A.  米 B. 米 C. 米 D. 米考查目的：考查正弦定理的应用. 答案：B. 解析：如图，在  中，根据正弦定理得 ，解得 (米). 2.某人向正东方向走  ，然后右转 ，朝前走 ，结果他离出发点恰好 ，则 的值为( ).A.  B. C.或 D. 考查目的：考查余弦定理、方程思想. 答案：C. 解析：根据余弦定理得  ，化简并整理得 ，解得 或.3. (由2010浙江文改编)在 中，角 所对的边分别为 ，设 为的面积，满足 ，则角的大小为( ).A.  B. C.或 D.或 考查目的：考查余弦定理、三角形面积公式、三角变换等基础知识. 答案：B 解析：∵ ，∴根据余弦定理和三角形面积公式得 ，∴ ， .二、填空题 4.(2008江苏卷)在 中，若 ， ，则 的最大值是 .考查目的：考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想． 答案：  .解析：设  ，则 ，根据面积公式得 ；根据余弦定理得 ，∴ ，由三角形三边关系有  ，解得 ，故当 时，取得最大值.5.(2011安徽理)已知 的一个内角为 ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________.考查目的：考查余弦定理、等差数列的概念及三角形面积公式. 答案：  .解析：根据题意，可设 的三边长分别为 ，由 得 .由余弦定理得 ，解得 ( 舍去)，∴  .6.如图，某炮兵阵地位于 点，两观察所位于 两点，已知 为正三角形，且 ，当目标出现在时，测得 ，则炮兵阵地与目标的距离约为 (精确到 ). 考查目的：考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的能力. 答案：  .解析：如图，  ，在 中，由正弦定理得 ，∴ .在 中， ，由余弦定理得     ，∴ .三、解答题： 7.(2007海南、宁夏)如图，测量河对岸的塔高  时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与 ．现测得 ， ， 并在点测得塔顶的仰角为 ，求塔高． 考查目的：考查正弦定理、直角三角形的边角关系以及空间想象能力和运算求解能力. 答案：  .解析：在  中， ．由正弦定理得 ，∴ .在 中， ．8.(2010福建理)某港口  要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距 海里的处，并以 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小船沿直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 小时与轮船相遇. ⑴若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ ⑵假设小艇的最高航行速度只能达到 海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.考查目的：考查利用直角三角形的边角关系、余弦定理解三角形，以及综合运用知识分析问题解决问题的能力. 答案：⑴  海里/小时，⑵航行方向是北偏东，航行速度为海里/小时.解析：(方法一)⑴设相遇时小艇航行的距离为 海里，则  ，∴当 时， ，此时 ，即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.⑵设小艇与轮船在 处相遇，则 ，∴ . ∵ ，∴ ，即 ，解得 .又∵ 时， ，故时，取得最小值，且最小值等于 . 此时，在  中，有 ，故可设计航行方案如下：航行方向是北偏东，航行速度为海里/小时，这样，小艇能以最短时间与轮船相遇.(方法二)⑴若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向，设小艇与轮船在 处相遇. 在 中， ， ；又 ， ，此时，轮船航行时间 ，即小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小. ⑵猜想 时，小艇能以最短时间与轮船在处相遇，此时 .又∵ ，∴ ，解得.据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东  ，航行速度的大小为海里/小时，这样，小艇能以最短时间与轮船相遇. 证明如下： 如图，由⑴得  ，故 ，且对于线段 上任意点 ，有 . 而小艇的最高航行速度只能达到海里/小时，故小艇与轮船不可能在，之间(包含)的任意位置相遇.设  ，则在 中， .由于从出 发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为 和 ，∴ ，由此可得， .又∵ ，∴ ，从而 ，由于 时， 取得最小值 ，于是当 时，取得最小值，且最小值为，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.(方法三)⑴同方法一或方法二. ⑵  设小艇与轮船在处相遇，依题意得 ，∴ . (i)若  ，则由 得， ，∴ .①当 时，令 ，则 ， ，当且仅当 即 时等号成立.②当  时，同理可得 . 由①②得，当 时， .(ii)若 ，则.综合(i)(ii)可知，当 时，取最小值，此时，在中，，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.(责任编辑：admin) |