《2.1 数列的概念与简单表示法》测试题 一、选择题 1.下面四个结论:①数列的图像是一群孤立的点;②数列可看成是一列函数值;③数列的项数是无限的;④数列通项的表达式是唯一的.其中正确的结论是( ). A.① B.①② C.②③ D.①②③ 考查目的:考查数列的有关概念及其表示. 答案:A. 解析:数列可看成是定义域为正整数集或正整数集的一个有限子集,当自变量从小到大依次取值时所得到的一列函数值,所以数列的图像是一群孤立的点;数列按项数可分为有穷数列和无穷数列;数列通项的表达式不一定唯一,如周期数列0,2,0,2,……的通项可表示为,也可表示为等. 2.(2009湖北文)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如: 他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ). A.289 B.1024 C.1225 D.1378 考查目的:考查数列的概念、归纳猜想能力和推理判断能力. 答案:C 解析:由图形可得三角形数构成的数列通项,正方形数构成的数列通项;由可排除D,由或,得,可排除A、B,故选C. 事实上,是第49个三角形数、第35个正方形数. 3.(2008江西)在数列中,,,则( ). A. B. C. D. 考查目的:考查递推数列的概念、对数的运算性质,考查由递推公式求通项公式的基本方法. 答案:A. 解析:∵,∴(),∴当时, . 又∵也适合上式,∴(). 二、填空题 4.数列1,2,2,4,3,8,4,16,5,…的一个通项公式是 . 考查目的:考查数列通项公式的概念、归纳推理能力. 答案:. 解析:.还可以表示为或 或. 5.(由2010辽宁理改编)已知数列的通项公式为,则的最小值为________. 考查目的:考查数列的通项公式及函数的单调性等基础知识,考查综合运用知识解决问题的能力. 答案:. 解析:∵,∴,设,则由函数的性质知,在上单调递增,在上单调递减,因为,所以当或时,有最小值.又因为,,所以的最小值为. 6.(2012上海文)已知,各项均为正数的数列满足,,若,则的值是 . 考查目的:考查函数的概念、数列的概念和性质等基础知识,考查数列递推公式的运用. 答案:. 解析:∵,,∴;∵,∴,,,,;又由得到,,解得(负值舍去).依次往前推,得到,∴. 三、解答题 7.在数列中,. ⑴求证:数列先递增后递减; ⑵求数列的最大项. 考查目的:考查数列的概念、研究数列单调性的基本方法. 答案:⑴当时,递增;当时,递减.⑵. 解析:⑴由得,∴当时,递增;当时,递减. ⑵由⑴可知,为数列的最大项. 8.如果每一对兔子每月能生一对新兔,而每一对新兔在出生后的第三个月开始生一对新兔. 假定不发生任何死亡,那么一对新生的兔子在一年后能繁殖成多少对? 考查目的:考查数列的概念、数列的递推公式,考查分析问题解决问题的能力. 答案:144. 解析:记 为个月后兔子的对数,则,,,∵第个月后兔子的对数由两部分组成:一部分为第个月的兔子对数,另一部分是新增加的,增加的对数为第个月的兔子对数,∴ ,由此可得,,,,,,,,. 答:一对新生的兔子在一年后能繁殖成144对. (责任编辑:admin) |