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第二章《数列》测试题（二） 三、解答题 12.(2009浙江文)设  为数列 的前 项和， ， ，其中 是常数．⑴求  及 ；⑵若对于任意的  ， ， ， 成等比数列，求的值．考查目的：考查数列的通项与前 项和以及它们之间的关系，考查等比数列的概念以及运算求解能力.答案：⑴  ， ；⑵ 或 .解析：⑴当  时， ；当 时， .而也适合上式，所以.⑵∵ ，，成等比数列，∴ ，即 ，化简并整理得 . ∵此式对 成立，∴或.13.(2010全国卷Ⅱ文)已知 是各项均为正数的等比数列，且 ， .⑴求 的通项公式；⑵设  ，求数列 的前项和 .考查目的：考查等比数列的通项公式与前 项和公式、方程与方程组等基础知识，考查运算求解能力.答案：⑴  .⑵ .解析：⑴设 的公比为 ，则 .由已知，有  ，化简得  ，解得 ， ( 舍去)，所以.⑵由⑴知  ，所以   .14.(2008湖南理)数列 满足 ⑴求  ， ，并求数列的通项公式；⑵设  ， ，证明：当 时， .考查目的：考查数列递推公式的运用、等差数列、等比数列的概念和通项公式、三角函数等基础知识，考查数列求和、不等式证明的基本方法，以及分析问题解决问题的能力. 答案：⑴  ， ， ；⑵略.解析：⑴∵ ， ，∴ ， .一般地，当  时， ，即 ，所以数列 是首项为1、公差为1的等差数列，因此 .当  时， ，所以数列 是首项为2、公比为2的等比数列，因此 .∴数列 的通项公式为.⑵由⑴知，  ， ①， ②， 得， ，∴ .要证明当 时，成立，只需证明当时， 成立.证明：要证明 ，只需证明 .令 ，则 ，∴当时， .∴当 时， .于是当时， . 15.(2012广东理)设数列 ⑶证明：对一切正整数 |
的前
，且
，
．
；⑶略.
；令
得
，解得
，
.又∵
，∴解得
得
.又∵
也满足
，∴
成立，∴
，∴
，∴
，∴
，
.
，∴
，当
，
，
，…，
，累乘得
，
.