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错解剖析得真知（三十六） 12．3平均数、方差与标准差 一、知识导学 1．n 个数据  ， ，……. 的平均数或平均值一般记为 = .2．一般地，若取值  的频率分别为 ，则其平均数为 .3．把一组数据的最大值与最小值的差称为极差. 4． 一般地，设一组样本数据 ，其平均数为 ，则称 为这个样本的方差，算术平方根 为样本的标准差，分别简称样本方差，样本标准差.二、疑难知识导析 1.平均数，中位数和众数都是总体的数字特征，从不同角度反映了分布的集中趋势，平均数是最常用的指标，也是数据点的“重心”位置，它易受极端值（特别大或特别小的值）的影响，中位数位于数据序列的中间位置，不受极端值的影响，在一组数据中，可能没有众数，也可能有多个众数. 2.方差和标准差是总体的数字特征，反映了分布的分散程序（波动大小），标准差也会受极端值（特别大或特别小的值）的影响. 3.分布的分散程序还可以用极差来描述，但较粗略. 4.样本方差也可以用公式  计算.三、经典例题导讲 [例1]（06年江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为  已知这组数据的平均数为10，方差为2，则 的值为（ ）A．1 B.2 C.3 D.4 解：由平均数公式为10，得  ，则 ，又由于方差为2，则 得  所以有  ，故选D.[例2]数据  是一名运动员的 次射击的命中环数，则他的平均命中环数的估计是（ ）.A．样本平均数均值  B．样本极差 C．样本方差  D．样本平均差AD= 错解：C. 错因：后三个选项都表示了样本的波动程度，不能用于总体平均值的估计. 正解：A. [例3]某房间中10个人的平均身高为1.74米，身高为1.85米的第11个人，进入房间后，这11个人的平均身高是多少？ 解：原来的10个人的身高之和为17.4米，所以，这11个人的平均身高为  =1.75.即这11个人的平均身高为1.75米[例4]若有一个企业，70%的人年收入1万，25%的人年收入3万，5%的人年收入11万，求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数 解：年平均收入为1  （万）；中位数和众数均为1万[例5]下面是某快餐店所有工作人员的收入表：
（1）计算所有人员的月平均收入； （2）这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？ （3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？ （4）根据以上计算，以统计的观点对（3）的结果作出分析 解：（1）平均收入  （3000+450+350+400+320+320+410）=750元（2）这个平均收入不能反映打工人员的月收入水平，可以看出打工人员的收入都低于平均收入，因为老板收入特别高，这是一个异常值，对平均收入产生了较大的影响，并且他不是打工人员 （3）去掉老板后的月平均收入  （450+350+400+320+320+410）=375元.这能代表打工人员的月收入水平（4）由上可见，个别特殊数据可能对平均值产生大的影响，因此在进行统计分析时，对异常值要进行专门讨论，有时应剔除之 四、典型习题导练 1． 在一次知识竞赛中，抽取20名选手，成绩分布如下：
则选手的平均成绩是 （ ） A．4 B.4.4 C.8 D.8.8 2．8名新生儿的身长（cm）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计为 ，约有一半的新生儿身长大于等于 ，新生儿身长的最可能值是 . 3．某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：
用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值 = ，病人等待时间的标准差的估计值 = 4．样本  的平均数为5，方差为7，则3 的平均数、方差，标准差分别为 5．下面是一个班级在一次测验时的成绩（已按从小到大的次序排列），分别计算男生和女生的成绩和平均值，中位数以及众数，试问中位数的含义是什么？对比两个平均值和中位数，你分析一下这个班级的学习情况 男生：55，55，61，65，68，71，72，73，74，75，78，80，81，82，87，94 女生：53，66，70，71，73，73，75，80，80，82，82，83，84，85，87，88，90，93，94，97 6．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110. （1）这样的抽样是何种抽样方法？ （2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定. (责任编辑：admin) |
