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共线向量的三个命题及应用 广东省中山一中高中部 许少华 命题1：若两非零向量  共线，则有且只有一个实数 ，使 ；命题2：若两向量 满足（为非零实数），则向量共线；命题3：若向量 不共线，且 ，则 ；命题1、2的正确性是显然的，对于命题3可用反证法，再借助于命题2很快予以证明，本文例说上述三命题在解题中的应用 1.证三点共线 例1 已知两非零向量  不共线，如果  ，  ，  ，求证： 三点共线。证明：由       得向量  共线，又 有公共起点 故 三点共线。点评：欲证 三点共线，由于有公共起点，因而只需证共线即可；也就是证明存在非零实数，使 ；2.证几何题  例2 已知  是 的三条高， 于 ， 于 ，求证： 证明： ， ， 设 ，那么 又 ， ， 即  与 相似，于是得 因此，  ，  即点评：将平几问题转化为向量问题，欲证 ，只需证 即可；3.求向量 例3 在 中， 分别是 的中点， 与 交于 ，设 ，  ，用表示向量 解：由于  三点共线，得  ，同理得 又  由于  得  即  得  ，那么 点评：用已知向量表示未知向量，往往有一定的难度。面对图形中错综复杂的线条，要善于抓关键、抓重点，有时还要借助于参数；本题借助于参数且两次利用三点共线，再结合向量的线性表示结论； 4.解探索性题 例4 若 是两个不共线且起点相同的非零向量，问是否存在实数，使  三向量的终点在同一直线上？若存在，请求出实数；若不存在，请说明理由； 解：若存在，则必存在实数  使  即 由于 不共线，得 故存在实数  ，使三向量的终点在同一直线上。点评：先假设结论存在，然后进行推理，出现矛盾，说明不存在，否则结论存在是求解探索性问题的常规思路；本题先假定三终点共线，产生“ ”，再结合不共线产生的值，从而肯定结论存在。(责任编辑：admin) |