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利用数学思想处理三角函数问题

http://www.newdu.com 2018-11-16 互联网 佚名 参加讨论

    1. 数形结合思想
    体现在三角函数中是利用单位圆中三角函数线、三角函数图象求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程实根的个数、比较大小等。
    例1.   从小到大的顺序是___________。
    解析:这些角都不是特殊角,求出值来再比较行不通,若注意到 相差较大,容易利用单位圆上的三角函数线区分它们各自函数值的大小。
    设 (如图所示)
    
    可知 应填
     的定义域是____________。
    解析:该函数定义域即不等式组 的解集,即 的解集,若用传统方法则要求 的交集,不太方便。
    若画出 的图象(如图所示)
    由 ,易得
    2. 转化与化归思想
    体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值(域)、最值、比较大小等问题。
    例3. 若 B. D. 的大小比较就容易多了。
    因为
    又因为 ,所以 的值域。
    解析:先切割化弦,统一函数名称,得:
    
    令
    
    于是求原函数的值域转化为求函数 的值域,易得 ,所以原函数的值域为
    3. 函数与方程思想的应用
    体现在三角函数中是用函数的思想求解范围问题,用方程的思想解决求值、证明等问题。
    例5. 已知函数
    
    分离a得:
    
    问题转化为求a的值域。
    因为
    所以
    故当 时, 有实数解。
    例6. 已知 ,求 的值。
    解法1:只需求α的某个三角函数或α的值,又只需用倍角公式把已知条件“缩角升幂”转化为解三角方程。
    由倍角公式,原方程化为:
    
    由
    解法2:可以将原方程配方转化得:
    
    即
    因为
    则
    所以只有
    解得 ,求 的值。
    解析:由已知条件得:
    
    即
    因为
    所以
    所以 即求 的符号要展开讨论:
    (1)当
    所以
    (2)当
    所以
    综上
    5. 分析与综合的思想
    体现在三角函数中是把多边形分割为三角形,把求某值转化为求另外的值等,然后依据分析结果,综合写出求解过程。
    例8. 设 的取值范围是_____________。
    解析:运用分析与综合的思想方法,先分析x的取值范围,再综合求
    则
    即
    所以填 。而两个三角形的两边已知,只须求得已知两边的夹角 的正弦值,又 ,只需求得其中一个角 的正弦值或余弦值,解题从求余弦值开始,连结BD,在△ABD中,由余弦定理,得:
    
    
    在△CBD中,同理得:
    
    所以
    化简得
    又因为
    所以
    且
    则
    
    6. 整体思想的应用
    体现在三角函数中主要是整体代入、整体变形、整体换元、整体配对、整体构造等进行化简求值、研究函数性质等。
    例10. 已知
    <0" >
    (1)求<1" > 的值;
    (2)求的值。
    解析:由条件和问题联想到公式,可实施整体代换求值。
    (1)由平方,得:
    
    即
    因为
    又因为
    所以
    故
    (2)
    
     (责任编辑:admin)
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