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错解剖析得真知（十八） §6.4空间角和距离 一、知识导学 1.掌握两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角，掌握上述三类空间角的作法及运算. 2．掌握给出公垂线的两条异面直线的距离、点到直线（或平面）的距离、直线与平面的距离及两平行平面间距离的求法. 二、疑难知识导析 1．求空间角的大小时，一般将其转化为平面上的角来求，具体地将其转化为某三角形的一个内角. 2．求二面角大小时，关键是找二面角的平面角，可充分利用定义法或垂面法等. 3．空间距离的计算一般将其转化为两点间的距离.求点到平面距离时，可先找出点在平面内的射影（可用两个平面垂直的性质），也可用等体积转换法求之.另外要注意垂直的作用.球心到截面圆心的距离由勾股定理得  4．球面上两点间的距离是指经过这两点的球的大圆的劣弧的长，关键在于画出经过两点的大圆以及小圆. 5．要注意距离和角在空间求值中的相互作用，以及在求面积和体积中的作用. 三、经典例题导讲 [例1] 平面  外有两点A,B，它们与平面的距离分别为a,b，线段AB上有一点P，且AP:PB=m:n，则点P到平面的距离为_________________.错解：  .错因：只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况. 正解：  .[例2]与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有______个. 错解：4个. 错因：只分1个点与3个点在平面两侧.没有考虑2个点与2个点在平面两侧. 正解：7个. [例3]一个盛满水的三棱锥形容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D、E、F，且知SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（ ）  A.  B. C. D. 错解：A、B、C.由过D或E作面ABC的平行面，所截体计算而得. 正解：D. 当平面EFD处于水平位置时，容器盛水最多   最多可盛原来水得1－  [例4]斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1与底面相邻两边AB、AC都成450角，求这个三棱柱的侧面积.  错解：一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，即“过BC作平面与AA1垂直于M”；三是由条件“∠A1AB=∠A1AC  ∠AA1在底面ABC上的射影是∠BAC的平分线”不给出论证.正解：过点B作BM⊥AA1于M，连结CM，在△ABM和△ACM中，∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=450，MA为公共边，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=900，∴AA1⊥面BHC，即平面BMC为直截面，又BM=CM=ABsin450=  a，∴BMC周长为2xa+a=(1+ )a，且棱长为b，∴S侧=(1+)ab[例5]已知CA⊥平面α，垂足为A；AB  α，BD⊥AB，且BD与α成30°角；AC=BD=b，AB=a.求C，D两点间的距离.解 : 本题应分两种情况讨论： （1）如下左图.C，D在α同侧：过D作DF⊥α，垂足为F.连BF，则  于是 . 根据三垂线定理BD⊥AB得BF⊥AB. 在Rt△ABF中，AF=  过D作DE  AC于E，则DE=AF，AE=DF= .所以EC=AC-AE= b- = .故CD=  (2)如上右图.C，D在α两侧时：同法可求得CD=  点 评: 本题是通过把已知量与未知量归结到一个直角三角形中，应用勾股定理来求解. [例6] （06年湖北卷）如图，在棱长为1的正方体  中， 是侧棱 上的一点， . （1）试确定  ，使得直线 与平面 所成角的正切值为 ；（2）在线段  上是否存在一个定点 ，使得对任意的， 在平面 上的射影垂直于.并证明你的结论. 解：解法一（1）连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面  相交于点，,连结OG，因为PC∥平面，平面∩平面APC＝OG, 故OG∥PC，所以，OG＝  PC＝ .又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面 ，故∠AGO是AP与平面 所成的角. 在Rt△AOG中，tan  AGO＝ ，即m＝ .所以，当m＝ 时，直线AP与平面所成的角的正切值为 .（2）可以推测，点Q应当是AICI的中点O1，因为 D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面ACC1A1， 又AP  平面ACC1A1，故 D1O1⊥AP.那么根据三垂线定理知，D1O1在平面APD1的射影与AP垂直。 解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)  所以  又由  知， 为平面 的一个法向量。设AP与平面 所成的角为 ，则 。依题意有 解得 。故当时，直线AP与平面所成的角的正切值为。（2）若在A1C1上存在这样的点Q，设此点的横坐标为  ，则Q(x，1－，1)， 。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等价于D1Q⊥AP 即Q为A1C1的中点时，满足题设要求。[例7]在梯形ABCD中，∠ADC=90°，AB∥DC，AB=1，DC=2，  ，P为平面ABCD外一点，PAD是正三角形，且PA⊥AB，求：（1）平面PBC和平面PAD所成二面角的大小； （2）D点到平面PBC的距离． 解: （1）设AD∩BC=E，可知PE是平面PBC和平面PAD的交线，依题设条件得PA=AD=AE，则∠EPD=90°，PD⊥PE 又PA⊥AB，DA⊥AB，故AB⊥平面PAD． ∵ DC∥AB，∴ DC⊥平面PAD． 由PE⊥PC得PE⊥PD，∠DPC是平面PBC与平面PAD所成二面角的平面角．  ，DC=2，tan ， ． （2）由于PE⊥PD，PE⊥PC，故PE⊥平面PDC， 因此平面PDC⊥平面PBC， 作DH⊥PC，H是垂足，则DH是D到平面PBC的距离． 在Rt△PDC中， ，DC=2， ， ．平面PBC与平面PAD成二面角的大小为arctan  ，D到平面PBC的距离为 .[例8] 半径为1的球面上有A、B、C三点，A与B和A与C的球面距离都是  ，B与C的球面距离是 ，求过A、B、C三点的截面到球心O距离． 分析 ： 转化为以球心O为顶点，△ABC为底面的三棱锥问题解决． 由题设知△OBC是边长为1的正三角形，△AOB和△AOC是腰长为1的全等的等腰三角形． 取BC中点D，连AD、OD，易得BC⊥面AOD，进而得面AOD⊥面ABC，过O作OH⊥AD于H，则OH⊥面ABC，OH的长即为 所求，在Rt  中,AD= ,故在Rt ,OH= 点评： 本题若注意到H是△ABC的外心，可通过解△ABC和△AHO得OH．或利用体积法． 四、典型习题导练 1．在平面角为600的二面角  内有一点P，P到α、β的距离分别为PC=2cm，PD=3cm，则P到棱 的距离为____________.2．异面直线a , b所成的角为  ，过空间一定点P，作直线，使与a ,b 所成的角均为，这样的直线有 条.3．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AD的中点，则点A1到平面EFB1D1的距离为  4.二面角  －－ 内一点P，分别作两个面的垂线PA、PB，A、B为垂足．已知PA=3，PB=2，∠APB=60°求－－的大小及P到的距离．5.ABCD是边长为4的正方形，CG⊥面ABCD，CG = 2．E、F分别是AD、AB的中点．求点B到面EFG的距离． 6.如图：二面角α- -β为锐角，P为二面角内一点，P到α的距离为 ，到面β的距离为4，到棱的距离为 ，求二面角α- -β的大小. 7.如图，已知三棱柱A1B1C1-ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F. (1)求点A到平面B1BCC1的距离； (2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等.  (责任编辑：admin) |