|
错解剖析得真知（二十八） §9.2 排列与组合 一、知识导学 1.排列：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列. 2.全排列：ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个不同元素的全排列. 3. 排列数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有排列的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数.用符号  表示.4. 阶乘：正整数1到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘，用ｎ！表示. 规定：0！＝1 5.组合：一般地，从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素并成一组，叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个组合. 6.组合数：从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有组合的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组合数.用符号  表示.7.本节公式 （1）排列数公式   （这里ｍ、ｎ∈  ，且ｍ≤ｎ）（2）组合数公式   （这里ｍ、ｎ∈，且ｍ≤ｎ）（3）组合数的两个性质  规定：  二、疑难知识导析 1．排列的定义中包含两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”。从定义知，只有当元素完全，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列.两个相同数列，当且仅当它们的元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同. 2．排列与排列数是两个不同的概念.一个排列是指从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列的一种具体方法，它不是数；而排列数是指从ｎ个不同元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有不同数列的种数，它是一个数. 3．排列应用题一般分为两类，即无限制条件的排列问题和有限制条件的排列问题.常见题型有：排队问题、数字问题、与几何有关的问题. 解排列应用题时应注意以下几点： ①认真审题，根据题意分析它属于什么数学问题，题目中的事件是什么，有无限制条件，通过怎样的程序完成这个事件，用什么计算方法. ②弄清问题的限制条件，注意研究问题，确定特殊元素和特殊的位置.考虑问题的原则是特殊元素、特殊位置优先，必要时可通过试验、画图、小数字简化等手段帮助思考. ③恰当分类，合理分步. ④在分析题意，画框图来处理，比较直观.在解应用时，应充分运用. 解排列应用题的基本思路： ①基本思路： 直接法：即从条件出发，直接考虑符合条件的排列数； 间接法：即先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数. ②常用方法：特殊元素、特殊位置分析法，排除法（也称去杂法），对称分析法，捆绑法，插空档法，构造法等. 4．对组合的理解：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们顺序如何都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同时（即使只有一个元素不同），就是不同的组合.  5．排列与组合的区别与联系： ①根据排列与组合的定义，前者是从ｎ个不同元素中取出ｍ个不同元素后，还要按照一定的顺序排成一列，而后者只要从ｎ个不同元素中取出ｍ个不同元素并成一组，所以区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题.也就是说排列与选取元素的顺序有关，组合与选取元素的顺序无关. ②排列与组合的共同点，就是都要“从ｎ个不同元素中，任取ｍ（ｍ≤ｎ）个元素”，而不同点在于元素取出以后，是“排成一排”，还是“组成一组”，其实质就是取出的元素是否存在顺序上的差异.因此，区分排列问题和组合问题的主要标志是：是否与元素的排列顺序有关，有顺序的是排列问题，无顺序的组合问题.例如123和321,132是不同的排列，但它们都是相同的组合.再如两人互寄一次信是排列问题，互握一次手则是组合问题. ③排列数与组合数的联系.求从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数 ，可以分为以下两步：第一步，先求出从这ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的组合数；第二步，求每一个组合中ｍ个元素的全排列数 .根据分步计数原理，得到＝.从这一过程中可得出排列与组合的另一重要联系.从而，在解决排列问题时，先取后排是一个常见的解题策略.6．解排列与组合应用题时，首先应抓住是排列问题还是组合问题.界定排列与组合问题是排列还是组合，唯一的标准是“顺序”，有序是排列问题，无序是组合问题.当排列与组合问题综合到一起时，一般采用先考虑组合后考虑排列的方法解答.其次要搞清需要分类，还是需要分步.分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，它们不仅是推导排列数公式和组合数公式的基础，而且其应用贯穿于排列与组合的始终.学好两个计数原理是解决排列与组合应用题的基础.切记：排组分清（有序排列、无序组合），加乘明确（分类为加、分步为乘）. 三、经典例题导讲 [例1] 10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？ 错解：10个人坐6把不同的椅子，相当于10个元素到6个元素的映射，故有  种不同的坐法.错因: 没弄清题意，题中要求每把椅子必须并且只能坐一人，已不符合映射模型了.本题事实上是一个排列问题. 正解： 坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，若把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素中作取6个元素占据6个不同的位置.显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题.从而，共有  ＝151200种坐法.[例2]从－3，－2，－1,0，1,2，3，4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数  的系数 ，ｂ，ｃ的取值，问共能组成多少个不同的二次函数？错解：从八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数 的系数，ｂ，ｃ的取值，交换，ｂ，ｃ的具体取值，得到的二次函数就不同，因而本题是个排列问题，故能组成 个不同的二次函数.错因: 忽视了二次函数 的二次项系数不能为零. 正解： ，ｂ，ｃ中不含0时，有 个；，ｂ，ｃ中含有0时，有2 个.故共有 ＋2＝294个不同的二次函数.注：本题也可用间接解法.共可构成 个函数，其中＝0时有个均不符合要求，从而共有－＝294个不同的二次函数.[例3]以三棱柱的顶点为顶点共可组成多少个不同的三棱锥？ 错解：按照上底面取出点的个数分三类：第一类，上底面恰取一点，这时下底面取三点，有  ＝3个；第二类，上底面恰取2点，下底面也取两点，有 ＝9个；上底面取3点时，下底面取一点，有 ＝3个.综上知，共可组成3＋9＋3＝15个不同的三棱锥.错因: 在上述解法中，第二类情形时，所取四点有可能共面.这时，务必注意在上底面取2点，与之对应的下底面的2点只有2种取法. 正解：在三棱柱的六个顶点中任取4个顶点有  ＝15取法，其中侧面上的四点不能构成三棱锥，故有15－3＝12个不同的三棱锥.[例4] 4名男生和3名女生并坐一排，分别回答下列问题： （1）男生必须排在一起的坐法有多少种？ （2）女生互不相邻的坐法有多少种？ （3）男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？ （4）男女生相间的坐法有多少种？ （5）女生顺序已定的坐法有多少种？ 解：⑴从整体出发，视四名男生为一整体，看成一个“大元素”，与三名女生共四个元素进行排列，有  种坐法；而大元素内部的小元素间又有种坐法.故共有＝576种坐法.⑵因为女生 互不相邻，故先将4名男生排好，有 种排法；然后在男生之间及其首尾的5个空档中插入3名女生，有 种排法.故共有＝1440种排法.⑶类似（1）可得：  ＝288种⑷男生排好后，要保证男生互不相邻、女生也互不相邻，3名女生只能排在男生之间的3个空档中，有  种排法.故共有＝144种排法.⑸7个元素的全排列有  种，因为女生定序，而她们的顺序不固定时有排法，可知中重复了次，故共有÷＝ ＝840种排法.本题还可这样考虑：让男生先占7个位置中的4个，共有 种排法；余下的位置排女生，因为女生定序，故她们只有1排法，从而共有＝840种排法.[例5] 某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，那么共有多少种不同的抽调方法？ 解：在每个车队抽调一辆车的基础上，还须抽调的3辆车可分成三类：从一个车队中抽调，有  ＝7种；从两个车队中抽调，一个车队抽1辆，另一个车队抽两辆，有＝42种；从三个车队中抽调，每个车队抽调一辆，有 ＝35辆.由分类计数原理知，共有7＋42＋35＝84种抽调方法.本题可用档板法来解决：由于每个车队的车均多于4辆，只需将10个份额分成7份.具体来讲，相当于将10个相同的小球，放在7个不同的盒子中，且每个盒子均不空.可将10个小球排成一排，在相互之间的九个空档中插入6个档板，即可将小球分成7份，因而有  ＝84种抽调方法.[例6]用0,1，2，…，9这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？ 解：若千位数字与个位数字中有一个为0 ，则另一个为2，且0只能在个位，2在千位，这样有四位数有 个.若千位与个位都不含有0，则应为1与3、2与4，3与5、4与6,5与7、6与8,7与9，这样的四位数有7× × 个.∴共有 ＋7×＝840个符合条件的四位数四、典型习题导练 1．某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、音乐6节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？ 2. 在7名运动员中选出4人组成接力队，参加4×100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？ 3．有5双不同型号的皮鞋，从中任取4只有多少种不同的取法？所取的4只中没有2只是同型号的取法有多少种？所取的4只中有一双是同型号的取法有多少种？ 4.一个五棱柱的任意两个侧面都不平行，且底面内的任意一条对角线与另一底面的边也不平行，以它的顶点为顶点的四面体有多少个？ 5. 4名男生5名女生，一共9名实习生分配到高一的四个班级担任见习班主任，每班至少有男、女实习生各1名的不同分配方案共有多少种？ 6.有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人. （1）甲、乙、丙三人各得2本，有多少种分法？ （2）一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少种分法？ （3）甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？ （4）平均分成三堆，每堆2本，有多少种分法？ (责任编辑：admin) |