错解剖析得真知(三十二) §10.2导数的应用 一、 知识导学 1.可导函数的极值 (1)极值的概念 设函数在点附近有定义,且若对附近的所有的点都有(或),则称为函数的一个极大(小)值,称为极大(小)值点. (2)求可导函数极值的步骤: ①求导数。求方程的根. ②求方程的根. ③检验在方程的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数在这个根处取得极大值;如果在根的右侧附近为正,左侧附近为负,那么函数在这个根处取得极小值. 2.函数的最大值和最小值 (1)设是定义在区间上的函数,在内有导数,求函数在上的最大值与最小值,可分两步进行. ①求在内的极值. ②将在各极值点的极值与、比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. (2)若函数在上单调增加,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数在上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值. 二、疑难知识导析 1.在求可导函数的极值时,应注意:(以下将导函数取值为0的点称为函数的驻点可导函数的极值点一定是它的驻点,注意一定要是可导函数。例如函数在点处有极小值=0,可是这里的根本不存在,所以点不是的驻点. (1) 可导函数的驻点可能是它的极值点,也可能不是极值点。例如函数的导数,在点处有,即点是的驻点,但从在上为增函数可知,点不是的极值点. (2) 求一个可导函数的极值时,常常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格,这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然. (3) 在求实际问题中的最大值和最小值时,一般是先找出自变量、因变量,建立函数关系式,并确定其定义域.如果定义域是一个开区间,函数在定义域内可导(其实只要是初等函数,它在自己的定义域内必然可导),并且按常理分析,此函数在这一开区间内应该有最大(小)值(如果定义域是闭区间,那么只要函数在此闭区间上连续,它就一定有最大(小).记住这个定理很有好处),然后通过对函数求导,发现定义域内只有一个驻点,那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大(小)值。知道这一点是非常重要的,因为它在应用上较为简便,省去了讨论驻点是否为极值点,求函数在端点处的值,以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤. 2.极大(小)值与最大(小)值的区别与联系 极值是局部性概念,最大(小)值可以看作整体性概念,因而在一般情况下,两者是有区别的.极大(小)值不一定是最大(小)值,最大(小)值也不一定是极大(小)值,但如果连续函数在区间内只有一个极值,那么极大值就是最大值,极小值就是最小值. 三、经典例题导讲 [例1]已知曲线及点,求过点的曲线的切线方程. 错解:,过点的切线斜率,过点的曲线的切线方程为. 错因:曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值,这是导数的几何意义.在此题中,点凑巧在曲线上,求过点的切线方程,却并非说切点就是点,上述解法对求过点的切线方程和求曲线在点处的切线方程,认识不到位,发生了混淆. 正解:设过点的切线与曲线切于点,则过点的曲线的切线斜率 ,又,。①点在曲线上, ②,②代入①得 化简,得,或.若,则,过点的切线方程为;若,则,过点的切线方程为过点的曲线的切线方程为或 [例2]已知函数在上是减函数,求的取值范围. 错解:在上是减函数,在上恒成立, 对一切恒成立,,即,. 正解:,在上是减函数,在上恒成立,且,即且,. [例3]当 ,证明不等式. 证明:,,则,当时。在内是增函数,,即,又,当时,,在内是减函数,,即,因此,当时,不等式成立. 点评:由题意构造出两个函数,.利用导数求函数的单调区间,从而导出及是解决本题的关键. [例4]设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省? 解 : 设BD之间的距离为km,则|AD|=,|CD|=.如果公路运费为元/km,那么铁路运费为元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费为:+,().对该式求导,得=+=,令,即得25=9(),解之得 =15,=-15(不符合实际意义,舍去).且=15是函数在定义域内的唯一驻点,所以=15是函数的极小值点,而且也是函数的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省. 点评: 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间. [例5](2006年四川)函数,其中是的导函数.(1)对满足-1≤≤1的一切的值,都有<0,求实数的取值范围; (2)设=-,当实数在什么范围内变化时,函数=的图象与直线=3只有一个公共点. 解:(1)由题意 令, 对,恒有,即 ∴ 即 解得 故时,对满足-1≤≤1的一切的值,都有. (2) ①当时,的图象与直线只有一个公共点 ②当时,列表:
∴ 又∵的值域是,且在上单调递增 ∴当时函数的图象与直线只有一个公共点. 当时,恒有 由题意得 即 解得 综上,的取值范围是. [例6]若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动,桌面上有与点O距离为的另一点A,问电灯与点0的距离怎样,可使点A处有最大的照度?(照度与成正比,与成反比) 分析:如图,由光学知识,照度与成正比,与成反比,即(是与灯光强度有关的常数)要想点处有最大的照度,只需求的极值就可以了. 解:设到的距离为,则, 于是,. 当时,即方程的根为(舍)与,在我们讨论的半闭区间内,所以函数在点取极大值,也是最大值。即当电灯与点距离为时,点的照度为最大.
点评:在有关极值应用的问题中,绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得=0且在该点两侧,的符号各异,一般称为单峰问题,此时,该点就是极值点,也是最大(小)值点. 四、典型习题导练 1.已知函数,若是的一个极值点,则值为 ( ) A.2 B.-2 C. D.4 2.已知函数在处有极值为10,则= . 3.给出下列三对函数:①②, ③,;其中有且只有一对函数“既互为反函数,又同是各自定义域上的递增函数”,则这样的两个函数的导函数分别是 , . 4.已知函数有极大值和极小值,求的取值范围. 5.已知抛物线,过其上一点引抛物线的切线,使与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小,求的方程. 6.设在上的最大值为,, (1)求的表达式;(2)求的最大值. §10.3定积分与微积分基本定理 一、知识导学 1.可微:若函数在的增量可以表示为的线性函数(是常数)与较高阶的无穷小量之和:(1),则称函数在点可微,(1)中的称为函数在点的微分,记作或.函数在点可微的充要条件是函数在可导,这时(1)式中的等于.若函数在区间上每点都可微,则称为上的可微函数.函数在上的微分记作. 2.微积分基本定理:如果,且在上可积.则 .其中叫做的一个原函数. 由于,也是的原函数,其中为常数. 二、疑难知识导析 1 .定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤,这里包含着很重要的数学思想方法,只有对定积分的定义过程了解了,才能掌握定积分的应用. 1)一般情况下,对于区间的分割是任意的,只要求分割的小区间的长度的最大者趋近于0,这样所有的小区间的长度才能都趋近于0,但有的时候为了解题的方便,我们选择将区间等份成份,这样只要2其中的使就可以了. 2)对每个小区间内的选取也是任意的,在解题中也可选取区间的左端点或是右端点. 3)求极限的时候,不是,而是. 2.在微积分基本定理中,原函数不是唯一的,但我们只要选取其中的一个就可以了,一般情况下选那个不带常数的。因为. 3.利用定积分来求面积时,特别是位于轴两侧的图形的面积的计算,分两部分进行计算,然后求两部分的代数和. 三 、经典例题导讲 [例1]求曲线与轴在区间上所围成阴影部分的面积S. 错解:分两部分,在,在,因此所求面积为 2+(-2)=0。 分析:面积应为各部分积分的代数和,也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积,而是面积的相反数。所以不应该将两部分直接相加。 正解: [例2]用微积分基本定理证明 () 分析:即寻找的原函数代入进行运算。 解;设,则 = = 由微积分基本定理的逆运用可知:上式 所以原式成立,即证。 注:该式可用来求分布在轴两侧的图形的积分。 [例3]根据等式求常数的值。 1) 2) 分析:利用微积分基本定理,求出原函数代入求解 解:1) 2) [例4]某产品生产x个单位时的边际收入 (1) 求生产了50个单位时的总收入。 (2) 如果已生产了100个单位时,求再生产100个单位时的总收入。 分析:总收入为边际收入的积分和,求总收入既为求边际收入在规定时间内的定积分。由收入函数和边际收入的关系可得 (1)生产50个单位时的总收入为 = =99875 (2)已生产了100个单位时后,再生产100个单位时的总收入为 答:生产50个单位时的总收入为99875;生产了100个单位时后,再生产100个单位时的总收入为19850. |