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巧构奇函数简解一类问题 湖北省阳新县高级中学 邹生书 函数性质在解决函数问题中举足轻重至关重要．函数的单调性和奇偶性是函数的重要性质，是解决函数问题的强有力工具．有些问题从表面上看似乎与函数无关，如果我们从题设所给出的式子的结构特征入手，站在函数的角度审视问题并抓住问题的本质，创造性地构造奇函数并运用奇函数性质来处理问题，往往可达到“柳暗花明又一村”的解题境界．本文着重介绍单调奇函数的几个重要性质及其在解题中的妙用，以飨读者． 一、奇函数的几个重要性质 性质1 已知函数  是区间 上的单调递增奇函数，若 ，则  ； ．性质2 已知函数 是区间上的单调递减奇函数，若，则  ； ．性质3 已知函数 是区间上的单调奇函数，若，则  ．性质4 如果奇函数 有最大值 ，那么的最小值为 ，反之亦然．即如果奇函数有最值，则 ．二、奇函数性质应用举例 例1 已知：  三个实数满足 ，函数 ，则 的值为（ ） 一定大于零  一定小于零  等于零  正负都有可能解 因为 是 上单调递减的奇函数，又，根据性质2得， ，三式相加可得 ，故选 ．点评 本题直接运用单调奇函数的性质求解，解题过程简便快捷，性质运用真是恰到好． 例2 解不等式  ．解 原不等式可化为  ，设 ，则不等式变为 ，因为单增奇函数，根据奇函数性质1得 ，即 ，解得 ，故所求不等式的解集为 ．点评 此题若用常规方法将分式不等式转化为整式不等式求解，则要解一个一元6次不等式，一般很难将解法进行到底．本解法将此不等式变形，注意结构的相似性巧构奇函数并用奇函性质求解，致使问题得以轻松解决． 例3 已知  ，且满足 和 ，求 的值．解 由题设得  ， ，设 ，则 ，故 ，又由知 ，而 在 上是单增奇函数，由性质3得， ，所以 ．点评 显然我们不可能分别求出  的值，根据已知两个等式在结构上的相似性构造函数，综合运用联系的观点、整体思想和奇函数的性质，最终使问题得以解决，其中奇函数性质的运用对问题的解决起决定作用．例4 已知实数  满足： ， ，求 的值．解 因为  ，所以有 ，设  ，则 ，故有 ．因 在上是单增奇函数，由性质3得， 即 ．点评 本题难在不能直接运用奇函数性质解题，需要作适当的变形创造性地构造出奇函数．联系观点、整体思想和构造奇函数的目标意识是解决本题的方向标． 例5 已知实数 满足 ，求 的值．解 因  即 ，设 ，对两边取自然对数得 ．又因为 ，所以在上是奇函数，又 ，所以在上又是增函数，由，根据性质3可得 ．点评 本题是31届西班牙数学奥林匹克第2题，本解法根据已知等式结构特点，巧妙运用单调奇函数的性质使问题奇迹般地解决，真是“天生一个仙人洞，无限风光在险峰”． 例6 设函数  定义在 上，求这个函数的最大值与最小值的和．分析 此题最一般的方法是，利用导数分别求出最大值和最小值，然后求其和，问题是这个函数求导后，得到的三项中分别包含指数、对数和多项式，无法求出其零点，解题思路受阻限入困境．若用奇函数性质来审视该题则问题变得峰回路转旗开得胜． 解 设  ，则 ，且 均为连续函，而连续函数在闭区间上必存在最大值和最小值． ， 由此知  在上是奇函数，由性质4知， ，所以 ．例7 （2009年上海高考题改编）已知函数  ，项数为27的等差数列 满足 ，且公差 ，若 ．问当是否存在这样的 ，使得 ？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．解 因为 在 是单增奇函数，当 时，由等差数列的性质知， ，由性质2知   ，所以有，故当 时 ．下面用反证明这样的是唯一的．假设  ，由性质1知  ，从而 ，这与题设矛盾．同理若 ，则有 ，同样与题设矛盾．综上可知，若 ，则当且仅当时．(责任编辑：admin) |