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巧思妙解论坛里的一个问题 杨洪林 网友“大风歌166”于7月13日在论坛上提出一个问题： 已知a＞0，如果对于函数f（x）= x（x - a）,g（x）= - x2 +（a - 1）x + a， 存在x0∈  ，使得f（x0）＞g（x0），则a的取值范围是（ ）. 一位网友给出的解答是：  存在x∈，使得x（x - a）2 ＞ -（x +1）（x - a）（x2 - ax + x + 1）（x - a）＞0.∵x∈ ，a＞0, ∴ x - a＜0. ∴存在x∈，使得x2 - ax + x + 1＜0存在x∈，使得ax＞x2 + x +1.当x∈（-1,0）时，只要a＜  ，又∵ ∈（-∞,-1），∴无解.当x = 0时不满足.当x∈  时，只要a＞ .（1）  ≥1，即a≥3. ∵∈[3,+ ∞），∴a ＞3.（2） ＜1, 即a＜3. ∵∈ ，∴a ＞ ，∴a ＞3，或a ＜  （舍）. 综上，a ＞3.·巧思· ① 出现不等式x（x - a）2 ＞ -（x +1）（x - a）之时，就可以立即利用由题设而得的“x＜a”，约去两边的公因式“x - a”，使得不等式尽早地变得简单。 ② 将ax＞x2 + x +1的右边式子配平方，成为  ,利用a＞0，便得x＞0，从而避免了对于x＜0和x＞0的分类讨论，也就避免了“无效劳动”。③ 由 = x +  + 1（x＞0）≥3，便知a ＞3，从而又一次避免了对于≥1和＜1的分类讨论，也就又一次避免了“无效劳动”。 ·妙解· a＞0, x＜  x＜a，故f（x）＞g（x）=（x + 1）（a - x）x（a - x）＞（x +1） ax＞x 2 + x + 1 = ＞0x＞0，且 a＞x  1≥3  a＞3即为所求.（当a＞3时，总有x = 1?  满足要求）【评注】 ① 将二次多项式（二次函数）配平方，利用“实数的平方为非负数”，可以求出其最大值或最小值。 ② 由于“分类讨论”要对字母可能的取值情况进行考虑，必然节奏较慢、过程较长，并且往往含有“无效劳动”或“重复劳动”，所以分类讨论不是首选。能不分类则不分类，能少分类则少分类。 ③ 上述原来解答目前还比较普遍，包括高考试题的参考答案也基本如此——人们比较习惯于老观念看待问题、老经验处理问题、老方法解决问题，而不太容易改变、变革、革新——应当引起注意。 （作者系退休机关干部、中学数学教师） (责任编辑：admin) |