数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——排列、组合和二项式定理_高中学习网-人民教育出版社人教版部编同步解析与测评答案-电子课本资料下载-知识点学习方法与技巧补课解题技巧学习计划表总结-人教网-高中试卷网-中学学科网

    数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——排列、组合和二项式定理
    湖南省常德市安乡县第五中学　龚光勇收集整理
    1.排列数

中

、组合数

中

。
(1)排列数公式

；

。
如（1）1！+2！+3！+…+n！（

）的个位数字为（答：3）；（2）满足

的

＝     （答：8）
    (2)组合数公式

；规定

，

。
如已知

，求 n，m的值（答：m＝n＝2）
(3)排列数、组合数的性质：
①

；②

；③

；④

；⑤

；⑥

。
2.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合。比如：
（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种（答：

）；
（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种（答：70）；
（3）从集合

和

中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）；
（4）72的正约数（包括1和72）共有个（答：12）；
（5）

的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同

的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）；
（6）用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有种不同涂法（答：480）；

（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有种（答：9）；
（8）

是集合

到集合

的映射，且

，则不同的映射共有个（答：7）
（9）满足

的集合A、B、C共有组（答：

）
    3.解排列组合问题的方法有：
    （1）特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。比如
    ①某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_____种（答：300）；
    ②某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0. 千位、百位上都能取0. 这样设计出来的密码共有_______种（答：100）；
    ③用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_______个（答：156）；
    ④某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_____（答：6）；
    ⑤四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。①恰有两个空盒的放法有__________种；②甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有_________种（答：84；96）；
    ⑥设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有_________种（答：31）
    （2）间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。
    如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以确定三角形的个数为_____（答：15）。
    （3）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。比如：
    ①把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_____（答：2880）；
    ②某人射击８枪，命中４枪，４枪命中中恰好有３枪连在一起的情况的不同种数为_____（答：20）；
    ③把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是_____（答：144）
    （4）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。比如：
    ①3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_______种（答：24）；
    ②某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_____（答：42）。
    （5）多排问题单排法。
    如若2n个学生排成一排的排法数为x，这2 n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x,y的大小关系为_____（答：相等）；
    （6）多元问题分类法。比如：
    ①某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有_______种（答：15）；
    ②某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有______种（答：36）；
    ③9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拨5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，选拨的方法有____________种（答：90）；
    （7）有序问题组合法。比如：
    ①书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，有     种不同的放法（答：20）；
    ②百米决赛有6名运动A、B、C、D、E、F参赛，每个运动员的速度都不同，则运动员A比运动员F先到终点的比赛结果共有_____种（答：360）；
    ③学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩

且满足

，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_____种（答：15）；
④设集合

，对任意

，有

，则映射

的个数是_____（答：

）；
⑤如果一个三位正整数形如“

”满足

，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为_____（答：240）；
⑥离心率等于

(其中

且

)的不同形状的的双曲线的个数为_____（答：26）。
    （8）选取问题先选后排法。
    如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_____（答：576）。
    （9）至多至少问题间接法。
    如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_______种（答：596）
    （10）相同元素分组可采用隔板法。比如：
    ①10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；15）；
    ②某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）
    4、分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！。
    如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_______种（答：37440）；
    5.二项式定理：