|
对数列的通项公式，教材上的定义是“如果数列｛an｝的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式”. 但同学们在具体学习中还要注意几个问题. 1. 含省略号的an表达式是不是通项公式？ 含省略号的an表达式不是通项公式，因为由通项公式的定义知，an应该是关于n的函数关系式. 求数列，的通项公式. 解: 这个数列的通项公式不能写成an=，而应计算,故数列的通项公式为an. 求数列2,22,222,2222，…的通项公式. 解：此题的通项公式不能写成. 而应计算为关于n的代数式， . 故数列的通项公式为. 2. 列举项中的含n的一般式是不是通项公式？ 数列列举项中的含n的一般式不一定是通项公式. 已知数列试求第20项和第40项. 解析 这个数列的项是依次用列举法表示的，其中的一般式n(n+1)是第n项，故通项公式为an =n(n+1).. 等差数列1,3，5，…，2n-3，…中，2n-3是第几项？ 解: 很多同学会不假思索地回答为第n项. 事实上，2n-3不是这个数列的通项公式. 由于这个数列是等差数列，首项a1=1，公差d=2，故通项公式ak=1+(k-1)2=2k-1. 令2k-1=2n-3，求得k=n-1. 故2n-3是第n-1项. 3．通项公式能不能用分段函数形式表示？ 通项公式可以用分段函数形式表示，如果能统一为一个，最好统一. 求数列0,2，0,2，0,2，…，的通项公式. 解： 这个数列所有奇数项为0，所有偶数项为2，故它的通项公式可以写成. 这是用分段函数形式来表示的，当然也可合二为一，写成an=1+(-1)n. 已知数列｛an｝中，前n项的和Sn=3n-2， 求其通项公式an. 解析 许多同学这样做：由an=Sn-Sn-1=3n-2-3n-1+2=2·3n-1. 故其通项公式为an=2·3n-1. 这种解法是不完全的，利用an=Sn-Sn-1求通项公式，一定要注意条件是n≥2. 故还要验证a1满不满足，若满足就共一个通项公式，若不满足，就将通项公式写成分段函数形式. 此题中a1=S1=1不满足an=2·3n-1. 从而这个数列的通项公式只能写成分段函数的形式： 4. 数列的通项公式是不是唯一的？ 数列的通项公式一般不唯一，可以有不同的形式. 如例5. 所以一般求数列的通项公式时，只要求写出其中一个通项公式. 5．由数列的递推公式能不能写出数列中的任何一项？ 这是教材中复习参考题三的一个判断题，许多同学认为不能. 原因是认为数列的递推公式就是形如f(an，an-1)=0或f(an-1，an，an+1)=0的形式. 对数列的递推公式，教材上的定义是“如果已知数列｛an｝的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式”.从中可知数列的递推公式包括两部分，一是第1 项或前几项，二是任意相邻两项an和an-1或任意相邻三项an-1、an、an+1之间的关系式，如 和都是递推公式. 故由数列的递推公式可以写出这个数列中的任何一项. 由数列的递推公式求其通项，有很多方法，同学们可以自己去总结一下，但有一点必须清楚，不是所有的数列递推公式都可以求出其通项的. (责任编辑：admin) |