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巧用圆系方程 简化解题过程 四川省眉山中学校 谢维勇 在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种： ⑴以  为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线  与圆 的交点的圆系方程 ⑶过两圆  和圆 的交点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆  ，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。当  时，得到两圆公共弦所在直线方程 为了避免利用上述圆系方程时讨论圆 ，可等价转化为过圆 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程 在遇到过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，灵活选取上述各种圆系方程，可简化繁杂的解题过程。现不妨举两例简要说明。 例1：已知圆  与直线 相交于 两点， 为坐标原点，若 ，求实数 的值。分析：此题最易想到设出  ，由得到 ，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以 为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线 与圆的交点的圆系方程为： ，即 ………………….①依题意， 在以为直径的圆上，则圆心（ ）显然在直线上，则 ，解之可得 又  满足方程①，则 故  例2：求过两圆  和 的交点且面积最小的圆的方程。分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。 解：圆 和的公共弦方程为 ，即 过直线 与圆的交点的圆系方程为 ，即 依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心  必在公共弦所在直线上。即 ，则 代回圆系方程得所求圆方程  总之，在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果。 (责任编辑：admin) |