数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——直线、平面、简单多面体（二）_高中学习网-人民教育出版社人教版部编同步解析与测评答案-电子课本资料下载-知识点学习方法与技巧补课解题技巧学习计划表总结-人教网-高中试卷网-中学学科网

    数学概念、方法、题型、易误点技巧总结——直线、平面、简单多面体（二）
    湖南省常德市安乡县第五中学　龚光勇收集整理
    19、多面体有关概念：
    （1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。
    （2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。
    （3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体。
    20、棱柱：
    （1）棱柱的分类：①按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面），其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。②按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形…，分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，…；
    （2）棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。比如：
    ①斜三棱柱A₁B₁C₁－ABC，各棱长为

，A₁B=A₁C=

，则侧面BCC₁B₁是____形，棱柱的高为_____（答：正方；

）；
    ②下列关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱。其中真命题的为_____（答：②④）。
    21、平行六面体：
    （1）定义：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；
    （2）几类特殊的平行六面体：{平行六面体}

{直平行六面体}

{长方体}

{正四棱柱}

{正方体}；
    （3）性质：①平行六面体的任何一个面都可以作为底面；②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。
    如长方体三度之和为a+b+c＝6，全面积为11，则其对角线为_____（答：5）
    22、棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比，截得小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比。
    如若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面积的

，则锥体被截面截得的一个小棱锥与原棱锥体积之比为_____（答：1∶8）
23、正棱锥：（1）定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。
如四面体

中，有如下命题：①若

，则

；②若

分别是

的中点，则

的大小等于异面直线

与

所成角的大小；③若点

是四面体

外接球的球心，则

在面

上的射影是

外心；④若四个面是全等的三角形，则

为正四面体。其中正确的是___（答：①③）
（2）性质：①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等。②正棱锥的高

、斜高

、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径

）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径

）、底面的半边长可组成四个直角三角形。如图，正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

，

，其中

分别表示底面边长、侧棱长、侧面与底面所成的角和侧棱与底面所成的角。比如：

①在三棱锥的四个面中，最多有___个面为直角三角形（答：4）；
②把四个半径为R的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，则上层小球最高处离桌面的距离为________（答：

）。
24、侧面积（各个侧面面积之和）：
①棱柱：侧面积

＝直截面（与各侧棱都垂直相交的截面）周长×侧棱长，特别地，直棱柱的侧面积

＝底面周长×侧棱长。比如：
（1）长方体的高为h，底面积为Q，垂直于底的对角面的面积为M，则此长方体的侧面积为______（答：

）；
②斜三棱柱ABC- A₁B₁C₁中，二面角C-A₁A-B为120°，侧棱AA₁于另外两条棱的距离分别为7cm、8cm，AA₁=12cm，则斜三棱柱的侧面积为______（答：

）；
③若斜三棱柱的高为4，侧棱与底面所成的角为60°，相邻两侧棱之间的距离都为5，则该三棱柱的侧面积为______（答：120）。
（2）正棱锥：正棱锥的侧面积

＝

×底面周长×斜高。比如：
①已知正四棱锥P－ABCD的高为4，侧棱与底面所成的角为60°，则该正四棱锥的侧面积是_______（答：

）；
②已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则

等于______（答：

）。
    提醒：全面积（也称表面积）是各个表面面积之和，故棱柱的全面积＝侧面积＋2×底面积；棱锥的全面积＝侧面积＋底面积。
    25、体积：
    （1）棱柱：体积＝底面积×高，或体积

＝直截面面积×侧棱长，特别地，直棱柱的体积＝底面积×侧棱长；三棱柱的体积

（其中

为三棱柱一个侧面的面积，

为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）。比如：
①设长方体的三条棱长分别为a、b、c，若长方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则

等于__（答：

）；
②斜三棱柱

的底面是边长为

的正三角形，侧棱长为

，侧棱AA₁和AB、AC都成45°的角，则棱柱的侧面积为___，体积为___（答：

；

）。
（2）棱锥：体积＝

×底面积×高。比如：
①已知棱长为1的正方体容器ABCD—A₁B₁C₁D₁中，在A₁B、A₁B₁、B₁C₁的中点E、F、G处各开有一个小孔，若此容器可以任意放置，则装水较多的容积（小孔面积对容积的影响忽略不计）是_____（答：

）；

②在正三棱锥A-BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF⊥DE，若BC=

，则正三棱锥A-BCD的体积为__（答：

）；
③已知正三棱锥

底面边长为

，体积为

，则底面三角形

的中心

到侧面

的距离为___（答：

）；
④在平面几何中有：Rt△ABC的直角边分别为a,b，斜边上的高为h，则

。类比这一结论，在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两点互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱锥P—ABC的高为h，则结论为______________（答：

）．
特别提醒：求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体。
补形：三棱锥

三棱柱

平行六面体；
分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是（答：1：2：3）和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等。比如：
（1）用平面去截三棱锥

，与三条侧棱交于

三点，若

，

，则多面体

的体积为_____（答：7）；
（2）直三棱柱ABC—A₁B₁C₁的体积为

，P、Q分别是侧棱AA₁、CC₁上的点，且AP=C₁Q，则四棱锥B—APQC的体积为（答：

）；
（3）如图的多面体ABC-DEFG中，AB、AC、AD两两垂直，平面ABC∥DEFG，平面BEF∥ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为________（答：4）。

    26、正多面体：
    （1）定义：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。
    （2）正多面体的种类：只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。其中正四面体、正八面体和正二十面体的每个面都是正三角形，正六面体的每个面都是正方形，正十二面体的每个面都是正五形边，如下图：

正四面体　　正六面体　　正八面体　　　正十二面体　　　正二十面体
27、球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d与球的半径R及截面圆半径r之间的关系是r＝

。
提醒：球与球面的区别（球不仅包括球面，还包括其内部）。比如：
（1）在半径为10

的球面上有

三点，如果

，则球心

到平面

的距离为______（答：

）；
（2）已知球面上的三点A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，则球心到平面ABC的距离为______（答：12）
28、球的体积和表面积公式：V＝

。比如：
（1）在球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49

cm²、400

cm²，则球的表面积为______（答：

）；
（2）三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC内接于球O，求球O的表面积与体积。（答：表面积

，体积

）；
（3）已知直平行六面体

的各条棱长均为3，

，长为2的线段

的一个端点

在

上运动，另一端点

在底面

上运动，则

的中点

的轨迹（曲面）与共一顶点

的三个面所围成的几何体的体积为为______（答：

）；

    29、立体几何问题的求解策略是通过降维，转化为平面几何问题，具体方法表现为：
    （1）求空间角、距离，归到三角形中求解；
    （2）对于球的内接外切问题，作适当的截面――既要能反映出位置关系，又要反映出数量关系。比如：
    ①甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为_____（答：1∶2∶3）；
    ②若正四面体的棱长为