试析两个典型问题解法的正确性 河北省沧州师专泊头分校 李同贤 问题1:线段AB是已知半圆的直径,将AB分成相等的两条线段,以每一条为直径,在已知半圆内分别作两个更小的半圆,如此无限继续下去,所作小半圆能否和线段AB重合? 解答:为表述解答过程方便,设线段AB的长为d,称第n次作出的所有直径相等的小半圆为第n级半圆。 下面从弧长和面积两个角度考察。 第1级有2个,其直径都是d/2,弧长之和为: [(πd/2)/2]×2=πd/2, 面积之和为: [π(d/22)2 / 2]×2 =πd2/24. 第2级有22个,直径都是d/22,弧长之和为:[(πd/22)/2]×22=πd/2,面积之和为: [π(d/23)2/2]×22 =πd2/25. 一般地,不难得到各级半圆的个数、直径、弧长之和、面积之和如下表:
可见,当无限继续作下去时,即当n趋向于无穷大时,所有小半圆的弧长之和是常数πd/2,该值大于已知半圆的直径d,而所有小半圆的面积之和是0. 因为对连接两点的线段(含曲线段)而言,“若不等长,则不重合”是真命题,所以能够断定所作的这些小半圆与线段AB不重合!然而,由所有小半圆与线段AB围成之封闭图形的面积之和为0,可以断定所作的这些小半圆与线段AB重合! 这样,从弧长和面积两个不同角度得出了两个完全相反的结论,究竟哪一个正确呢? 我们回过头来看,“弧长法”的根据是 “连接两点的线段(含曲线段)若不等长,则不重合”,这是一个在有限范围内建立起来并用来解决有限问题的结论。本问题中小半圆的弧长之和πd/2虽然是一个极限值,但它是一个非常特殊的数列——常数列的极限问题,它没有象一般极限过程那样,真正实现从有限向无限的质的跨越。简言之,该法仍然是用有限“眼光” “看待” 了无限问题,因而结论难免是错误的。 而“面积法”,当作法无限继续下去时,小半圆弧按级同步向线段AB无限趋近,或说充分靠近,要多近有多近,直至完全重合。因而此法得出的结论才是正确的。 问题2:一个鸡蛋的质量是60克,最多可承重3500克,如果把足够多同样的鸡蛋堆放成正棱锥型, 最多可堆放几层而不出风险? 解答:先看两种特殊情况: 1. 堆放成正三棱锥型。 不妨假设,沿底面的一个边沿相临摆放m个,则底面一层共可相临摆放m+(m-1)+ …+3+2+1=(m+1)m /2个;每向上一层,沿一个外边沿就少放一个,由此可知,一共可摆放m层,且这m层共可摆放的个数为: (m+1)m /2+m(m-1)/ 2 + … +6+3+1= /2 = m(m+1)(m+2)/ 6. 这m层的质量为:60 m(m+1)(m+2)/ 6 = 10 m(m+1)(m+2). 最底层每一个承重:[10 m(m+1)(m+2)] / [ (m+1)m / 2 ] = 20(m+2). 由已知,须20(m+2)≤3500,即m≤173. 最多可堆放173层,但此时恰好已经达到负荷的极限。 2. 堆放成正四棱锥型。 同上之理可得,若沿底层外边沿放m个,则最底层共可放m2个,m层共可放的个数为: m2+(m-1)2+ …+32+22+12 = m(m+1)(2m+1)/ 6 . 这m层的质量为:10 m(m+1)(2m+1). 最底层每一个承重:10 m(m+1)(2m+1)/ m2 =10 (m+1)(2m+1)/ m. 由已知,须10 (m+1)(2m+1)/ m ≤3500,即m≤173.5 最多可堆放173层而不出风险。 再看一般情况: 对正n棱锥(n为大于3的正整数)而言,假设最多可堆放m层,因每向上一层沿其一个外边沿少放1个,则沿底面一个外边沿可相临摆放m个。 因为边长为m的正n边形的面积为Sm = n(m2 Cot)/ 4 .我们近似地认为最底层即第m层可放的个数为Sm = n(m2 Cot)/ 4 .因此,m层共可摆放的个数为:= (n Cot)/ 4 =[(n Cot)/ 4] = [n(Cot)/4] [m(m+1)(2m+1)/6] 这m层的质量为:60 [n(Cot)/4][m(m+1)(2m+1)/6] 最底层每一个承重:10(m+1)(2m+1)/ m. 由已知,须10 (m+1)(2m+1)/ m ≤3500,即m≤173.5 最多可堆放173层而不出风险。 类似地,堆成圆锥型时,若底面外沿放m个,我们近似地认为:底面周长为m,而底面面积m2/(4π)是底面可放个数。从而m层共可放 [m(m+1)(2m+1)/ 6 ] /(4π). 这m层的质量为:60 [m(m+1)(2m+1)/ 6 ] /(4π),最底层每一个承重: 10(m+1)(2m+1)/ m. 由已知,须10 (m+1)(2m+1)/ m ≤3500,即m≤173.5所以最多可堆放173层而不出风险。 可见,结果只与层数有关,而与正锥体的具体形状无关。 事实上,上述解答过程只对两种特殊情况,即正三棱锥和正四棱锥的那部分成立。而“一般情况”下用“边长”和“面积”代替个数,可以验证,对正三棱锥就有很大误差。当n大于或等于5时,“底面”上根本不可能相临、均匀的摆放那些鸡蛋,因而“体内”也不可能相临、均匀的摆放那些鸡蛋。其原因可参考阅读上海教育出版社1998年出版的《数论妙趣》(美.阿尔伯特.H.贝勒著、谈祥柏译)中的第18章“球戏”。 (责任编辑:admin) |