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试析两个典型问题解法的正确性

http://www.newdu.com 2018-11-30 人民教育出版社 佚名 参加讨论

    试析两个典型问题解法的正确性
    河北省沧州师专泊头分校 李同贤
    问题1:线段AB是已知半圆的直径,将AB分成相等的两条线段,以每一条为直径,在已知半圆内分别作两个更小的半圆,如此无限继续下去,所作小半圆能否和线段AB重合?
    
    解答:为表述解答过程方便,设线段AB的长为d,称第n次作出的所有直径相等的小半圆为第n级半圆。
    下面从弧长和面积两个角度考察。
    第1级有2个,其直径都是d/2,弧长之和为: [(πd/2)/2]×2=πd/2,
    面积之和为: [π(d/22/ 2]×2 =πd2/24.
    第2级有22个,直径都是d/22,弧长之和为:[(πd/22)/2]×22=πd/2,面积之和为: [π(d/232/2]×22 =πd2/25.
    一般地,不难得到各级半圆的个数、直径、弧长之和、面积之和如下表:
    

    级别
    

    个数
    

    直径
    

    弧长之和
    

    面积之和
    

    1
    

    2
    

    d/2
    

    πd/2
    

    πd2/24
    

    2
    

    22
    

    d/22
    

    πd/2
    

    πd2/25
    

    3
    

    23
    

    d/23
    

    πd/2
    

    πd2/26
    

    …
    

    …
    

    …
    

    πd/2
    

    …
    

    n
    

    2n
    

    d/2n
    

    πd/2
    

    πd2/2n+3
    

    …
    

    …
    

    …
    

    πd/2
    

    …
    

    
    

    
    

    0
    

    πd/2
    

    0
    

    可见,当无限继续作下去时,即当n趋向于无穷大时,所有小半圆的弧长之和是常数πd/2,该值大于已知半圆的直径d,而所有小半圆的面积之和是0.
    因为对连接两点的线段(含曲线段)而言,“若不等长,则不重合”是真命题,所以能够断定所作的这些小半圆与线段AB不重合!然而,由所有小半圆与线段AB围成之封闭图形的面积之和为0,可以断定所作的这些小半圆与线段AB重合!
    这样,从弧长和面积两个不同角度得出了两个完全相反的结论,究竟哪一个正确呢?
    我们回过头来看,“弧长法”的根据是 “连接两点的线段(含曲线段)若不等长,则不重合”,这是一个在有限范围内建立起来并用来解决有限问题的结论。本问题中小半圆的弧长之和πd/2虽然是一个极限值,但它是一个非常特殊的数列——常数列的极限问题,它没有象一般极限过程那样,真正实现从有限向无限的质的跨越。简言之,该法仍然是用有限“眼光” “看待” 了无限问题,因而结论难免是错误的。
    而“面积法”,当作法无限继续下去时,小半圆弧按级同步向线段AB无限趋近,或说充分靠近,要多近有多近,直至完全重合。因而此法得出的结论才是正确的。
     
    问题2一个鸡蛋的质量是60克,最多可承重3500克,如果把足够多同样的鸡蛋堆放成正棱锥型, 最多可堆放几层而不出风险?
    解答:先看两种特殊情况:
    1.  堆放成正三棱锥型。
    不妨假设,沿底面的一个边沿相临摆放m个,则底面一层共可相临摆放m+(m-1)+ …+3+2+1=(m+1)m /2个;每向上一层,沿一个外边沿就少放一个,由此可知,一共可摆放m层,且这m层共可摆放的个数为:
    (m+1)m /2+m(m-1)/ 2  + … +6+3+1= /2 = m(m+1)(m+2)/ 6.
    这m层的质量为:60 m(m+1)(m+2)/ 6 = 10 m(m+1)(m+2).
    最底层每一个承重:[10 m(m+1)(m+2)] / [ (m+1)m / 2 ] = 20(m+2).
    由已知,须20(m+2)≤3500,即m≤173.
    最多可堆放173层,但此时恰好已经达到负荷的极限。
    2. 堆放成正四棱锥型。
    同上之理可得,若沿底层外边沿放m个,则最底层共可放m2个,m层共可放的个数为: m2+(m-1)2+ …+32+22+12 = m(m+1)(2m+1)/ 6 .
    这m层的质量为:10 m(m+1)(2m+1).
    最底层每一个承重:10 m(m+1)(2m+1)/ m2 =10 (m+1)(2m+1)/ m.
    由已知,须10 (m+1)(2m+1)/ m ≤3500,即m≤173.5
    最多可堆放173层而不出风险。
    再看一般情况:
    对正n棱锥(n为大于3的正整数)而言,假设最多可堆放m层,因每向上一层沿其一个外边沿少放1个,则沿底面一个外边沿可相临摆放m个。
    因为边长为m的正n边形的面积为Sm = n(m2 Cot)/ 4 .我们近似地认为最底层即第m层可放的个数为Sm = n(m2 Cot)/ 4 .因此,m层共可摆放的个数为:= (n Cot)/ 4 =[(n Cot)/ 4]
    = [n(Cot)/4] [m(m+1)(2m+1)/6]
    这m层的质量为:60 [n(Cot)/4][m(m+1)(2m+1)/6]
    最底层每一个承重:10(m+1)(2m+1)/ m.
    由已知,须10 (m+1)(2m+1)/ m ≤3500,即m≤173.5
    最多可堆放173层而不出风险。
    类似地,堆成圆锥型时,若底面外沿放m个,我们近似地认为:底面周长为m,而底面面积m2/(4π)是底面可放个数。从而m层共可放 [m(m+1)(2m+1)/ 6 ] /(4π). 这m层的质量为:60 [m(m+1)(2m+1)/ 6 ] /(4π),最底层每一个承重:
    10(m+1)(2m+1)/ m.  由已知,须10 (m+1)(2m+1)/ m ≤3500,即m≤173.5所以最多可堆放173层而不出风险。
    可见,结果只与层数有关,而与正锥体的具体形状无关。
    事实上,上述解答过程只对两种特殊情况,即正三棱锥和正四棱锥的那部分成立。而“一般情况”下用“边长”和“面积”代替个数,可以验证,对正三棱锥就有很大误差。当n大于或等于5时,“底面”上根本不可能相临、均匀的摆放那些鸡蛋,因而“体内”也不可能相临、均匀的摆放那些鸡蛋。其原因可参考阅读上海教育出版社1998年出版的《数论妙趣》(美.阿尔伯特.H.贝勒著、谈祥柏译)中的第18章“球戏”。
     (责任编辑:admin)
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