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函数思想在“直线与圆的方程”中的体现 山东省胶南市第一中学 韩朝泉 函数思想渗透于高中数学的方方面面，在直线与圆的方程中，我们也不难找到它的身影． 一．求最值问题中的函数 最值问题是一种常见问题，求解往往可以转化为求函数的最值．在直线与圆的方程中，有些最值问题可以借助于圆的方程特征及几何特征，利用函数的思想加以解决． 例１．已知实数  满足 ．（１）求  的最大值和最小值；（２）求  的最大值和最小值．分析：首先， 表示的图形是圆．（１）由已知可得 ，这是一个关于 的二次函数，因此，问题转化为求二次函数的最值问题．（２）设 ，则 可以看作关于或 的函数，转为求函数的最值问题；（３）设，可结合几何意义求函数的最值．解： 化为： ，表示圆心在 ，半径 的圆．（１）设 ，由得， ，即 ，这是一个关于的一次函数，由于 ，所以，当 时， ，当 时， ．（２）设 ，此函数的最值可以借助于几何意义：圆上的点 与定点 的连线的斜率．如图１所示，由Ａ作圆的切线，设切线的方程为 ，即 ，由圆心Ｃ到直线的距离等于圆的半径，得 ，解得 ，所以，的最大值为 ，最小值为 ． 二．含参数问题中的函数思想 含参数的问题，常常要对参数进行讨论，或求参数范围等，这时函数的思想可以发挥重要作用． 例２．已知方程  表示圆．试求圆的半径的取值范围．分析：将圆的半径用参数  表示出来，得到关于的函数，然后利用函数的性质求范围．解：设圆的半径为  ，则  ．由  ，得 ．所以，当  时， ；即圆半径的范围是 ．三．求轨迹方程中的函数思想 求轨迹方程的方法有很多，基本上都会用到函数的思想．尤其是参数法求轨迹方程时，函数的思想体现得更为明显． 例３．设圆的方程为 ，试求圆心Ｃ的轨迹方程．分析：圆心的横坐标与纵坐标都可以用参数 表示出来，因此，消掉参数即可求出圆心的轨迹方程．要注意自变量的范围，由于表示为参数的函数，所以，其范围是与的范围相关的，可以理解为函数的值域．解：设圆心Ｃ  ，依题意， ．由（１）得  ，代入（２），得 ．由例２可知： ，所以， ．故圆心Ｃ的轨迹方程为（ ）．有变量就有函数，函数思想为我们解决问题提供了方便，渗透于数学的各个知识点中．通过对各知识点中函数思想的认识，一方面可以加深我们对函数思想的理解，另一方面也可以增强我们对问题本质的理解与把握，同时还可以提高我们分析问题，解决问题的能力． (责任编辑：admin) |