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两个有趣的数论问题

http://www.newdu.com 2018-11-30 人民教育出版社 佚名 参加讨论

    两个有趣的数论问题
    河北省沧州师专泊头分校 李同贤
    问题1:甲、乙两个教堂的钟声同时响过之后,分别每隔4/3秒和7/4秒再响一声,如果因为在1/2秒内敲响的两声无法区分而被视为同一声,问在15分钟内可以听到多少声响?
    在15分钟内,甲、乙两个教堂的钟声分别敲响了60×15÷4/3 = 675声和 60×15÷7/4 = 514声。
    假设以听甲教堂的钟声为主,即甲教堂的钟声都能听到,乙教堂的钟声与甲教堂的钟声间隔在1/2秒内者听不到,又设这些听不到的钟声数目为x,则在15分钟内可以听到的钟声数为675+514-x.
    设n、m分别是甲、乙两个教堂的钟声敲响的次序数,则1n675,1m514. 由实际意义可知满足不等式组0|(4/3)n-(7/4)m |1/2的正整数n和m的个数相等,而这个相等的个数就是x.
     0|(4/3)n-(7/4)m |1/2   0|16n-21m |6 -616n-21m 6.
    设16n-21m  = k(-6k 6),解之可得
    由1n675,1m514可得
    给k(-6k 6)的各允许值,分别解上述不等式组,求得t的允许值个数,即前述方程组解的个数,就是n(或说m)的个数,也就是x.
    当我们给k的13个允许值,分别解不等式组时会发现,除了当k取-5和6时t都有33个对应的允许值之外,k的其余11个取值t都有32个允许值与之对应,所以共有418个t的允许值,即x = 418.
    所以,15分钟内若不算开始的一声,可听到675+514-418= 771声钟响。
    问题2:任意9个连续正整数之积记作P,它们的最小公倍数记作Q,试确定R = P/Q的最大可能值和最小可能值。
    先由小到大试验连续正整数的个数:
    1. 当个数为2时,设2个连续正整数从小到大依次为,b,则
    *b / [,b] =(,b)= 1.此时,R的最大、最小可能值都是1.
    2. 当个数为3时,设3个连续正整数从小到大依次为,b,c,则
    * bc / [,b,c] =(b,b,b c)= ((b,b),b c)
               = (,b c) = (,c)
    设 (,c) = h,则h|,h| c,h| c-= 2,h = 1,或h = 2.
    此时,R的最大、最小可能值分别是1和2.
    3. 当个数为4时,设四个连续正整数从小到大依次为,b,c,d,由
    =()=((),())
    =((c,d),cd(,b))= (,cd)
    知,只要讨论(,cd)即可。
    试验会发现,按被2或3除分类不便推理,而按被6除分类方便。
    故设= 6n,则b = 6n+1,c = 6n+2,d = 6n+3,所以
    (,cd)=(6n(6n+1),(6n+2)(6n+3))
    = 6(n(6n+1),(3n+1)(2n+1))
    = 6(6 n2+n,6 n2+5n+1)
    = 6(6 n2+n,4n+1)
    = 6(n(6 n+1),4n+1)
    = 6(n,4n+1)
    = 6(n,1)
    = 6.
    其中,第四个等号用了展转相减法,第六个等号用了最大公约数的性质:
    因为-2(6n+1)+3(4n+1)= 1,所以(6n+1,4n+1)= 1等。
    同理,当= 6n+1,= 6n+2,= 6n+4,= 6n+5时,(,cd)= 2;
    当= 6n+3时,(,cd)= 6.
    总之,当3整除时,= 6;当3不能整除时,= 2.
    所以,此时R的最大和最小可能值分别为6和2.
    4. 当个数为9时,上述推理方法已很难进行,我们改换一个思路。
    考虑将这9个数分解质因数:因为连续9个正整数不可能两两互质,所以至少有两个数A、B有公有质因数C,即C | A,C | B,所以C |(A-B),A、B是连续9个正整数之中的两个,所以| A-B | <9,所以C只可能取2、3、5、7,下面逐个考察它们出现的次数:
    考察7出现的次数:两个不同的7的倍数至少差7,故这9个数中有1个或2个7的倍数。当有两个7的倍数时,其中可能1个是72的倍数而另1个不是,也可能两个都不是72的倍数,此时,R = P/Q的分解式中7的次幂只能是1;当有1个7的倍数时,无论7的次幂是几,含7的幂必同时出现在P、Q中,此时,R = P/Q的分解式中不含7;总之,R = P/Q的分解式中7的次幂至多是1。
    同理R = P/Q的分解式中5的次幂至多是1。
    考察3出现的次数:这9个连续数中必恰有三个3的倍数,其中一个是9的倍数;另两个仅能被3整除,所以R = P/Q的分解式中3的次幂必是2.
    考察2出现的次数:这9个连续数中必有五个或四个偶数。当有五个偶数时,除含2的最高次幂同时出现在P、Q中之外,另四个含2最多的情况是“两个只能被2整除,一个只能被4整除,一个只能被8整除”,此时,R = P/Q的分解式中2的次幂最大是1+1+2+3 = 7;当有四个偶数时,除含2的最高次幂同时出现在P、Q中之外,另三个含2最少的情况是“两个只能被2整除,一个只能被4整除”,此时R = P/Q的分解式中2的次幂最小,是1+1+2 = 4.
    总之,由上述分析可知:R的最大可能值为:7×5×32×27 = 40320(如560开头的9个数);R的最小可能值为:32×24 = 144(如1至9九个数字)。
     (责任编辑:admin)
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