高中数学竞赛讲义（十三）_高中学习网-人民教育出版社人教版部编同步解析与测评答案-电子课本资料下载-知识点学习方法与技巧补课解题技巧学习计划表总结-人教网-高中试卷网题库网-中学学科网

    高中数学竞赛讲义（十三）
    ──排列组合与概率
    一、基础知识
    1．加法原理：做一件事有n类办法，在第1类办法中有m₁种不同的方法，在第2类办法中有m₂种不同的方法，……，在第n类办法中有m_n种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m₁+m₂+…+m_n种不同的方法。
    2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m₁种不同的方法，第2步有m₂种不同的方法，……，第n步有m_n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m₁×m₂×…×m_n种不同的方法。
    3．排列与排列数：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用表示，=n(n-1)…(n-m+1)=,其中m,n∈N,m≤n,
    注：一般地=1，0！=1，=n!。
    4．N个不同元素的圆周排列数为=(n-1)!。
    5．组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用表示：

    6．组合数的基本性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。
    7．定理1：不定方程x₁+x₂+…+x_n=r的正整数解的个数为。
    [证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x₁+x₂+…+x_n=r的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B中每一个解(x₁,x₂,…,x_n),将x_i作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,…,n，便得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n份，共有种。故定理得证。
    推论1 不定方程x₁+x₂+…+x_n=r的非负整数解的个数为
    推论2 从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合，其组合数为
    8．二项式定理：若n∈N₊,则(a+b)ⁿ=.其中第r+1项T_r+1=叫二项式系数。
    9．随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A发生的概率，记作p(A),0≤p(A)≤1.
    10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率为p(A)=
    11.互斥事件：不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件A₁，A₂，…，A_n彼此互斥，那么A₁，A₂，…，A_n中至少有一个发生的概率为
    p(A₁+A₂+…+A_n)= p(A₁)+p(A₂)+…+p(A_n).
    12．对立事件：事件A，B为互斥事件，且必有一个发生，则A，B叫对立事件，记A的对立事件为。由定义知p(A)+p()=1.
    13．相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
    14．相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即p(A?B)=p(A)?p(B).若事件A₁，A₂，…，A_n相互独立,那么这n个事件同时发生的概率为p(A₁?A₂? … ?A_n)=p(A₁)?p(A₂)? … ?p(A_n).
    15.独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.
    16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生k次的概率为p_n(k)=?p^k(1-p)^n-k.
    17．离散型随机为量的分布列：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数ξ就是一个随机变量，ξ可以取的值有0,1,2,…,10。如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。
    一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x₁,x₂,…,x_i,…,ξ取每一个值x_i(i=1,2,…)的概率p(ξ=x_i)=p_i，则称表

ξ	x₁	x₂	x₃	…	x_i	…
p	p₁	p₂	p₃	…	p_i	…

    为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列，称Eξ=x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n+…为ξ的数学期望或平均值、均值、简称期望，称Dξ=(x₁-Eξ)2?p₁+(x₂-Eξ)2?p₂+…+(x_n-Eξ)2p_n+…为ξ的均方差，简称方差。叫随机变量ξ的标准差。
    18．二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为p(ξ=k)=, ξ的分布列为

ξ	0	1	…	x_i	…	N
p			…		…

    此时称ξ服从二项分布，记作ξ～B(n,p).若ξ～B(n,p)，则Eξ=np,Dξ=npq,以上q=1-p.
    19.几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ也是一个随机变量，若在一次试验中该事件发生的概率为p，则p(ξ=k)=q^k-1p(k=1,2,…)，ξ的分布服从几何分布，Eξ=，Dξ=(q=1-p).
    二、方法与例题
    1．乘法原理。
    例1 有2n个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？
    [解] 将整个结对过程分n步，第一步，考虑其中任意一个人的配对者，有2n-1种选则；这一对结好后，再从余下的2n-2人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者，有2n-3种选择，……这样一直进行下去，经n步恰好结n对，由乘法原理，不同的结对方式有
    (2n-1)×(2n-3)×…×3×1=
    2．加法原理。
    例2 图13-1所示中没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种？
    [解] 断路共分4类：1）一个电阻断路，有1种可能，只能是R₄；2）有2个电阻断路，有-1=5种可能；3）3个电阻断路，有=4种；4）有4个电阻断路，有1种。从而一共有1+5+4+1=11种可能。
    3．插空法。
    例3 10个节目中有6个演唱4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式？
    [解] 先将6个演唱节目任意排成一列有种排法，再从演唱节目之间和前后一共7个位置中选出4个安排舞蹈有种方法，故共有=604800种方式。
    4．映射法。
    例4 如果从1，2，…，14中，按从小到大的顺序取出a₁,a₂,a₃使同时满足：a₂-a₁≥3,a₃-a₂≥3，那么所有符合要求的不同取法有多少种？
    [解] 设S={1,2,…,14}，={1，2，…，10}；T={(a₁,a₂,a₃)| a₁,a₂,a₃∈S,a₂-a₁≥3,a₃-a₂≥3},={()∈},若，令，则(a₁,a₂,a₃)∈T,这样就建立了从到T的映射，它显然是单射，其次若(a₁,a₂,a₃)∈T,令，则，从而此映射也是满射，因此是一一映射，所以|T|==120，所以不同取法有120种。
    5．贡献法。
    例5 已知集合A={1，2，3，…，10}，求A的所有非空子集的元素个数之和。
    [解] 设所求的和为x，因为A的每个元素a，含a的A的子集有2⁹个，所以a对x的贡献为2⁹，又|A|=10。所以x=10×2⁹.
    [另解] A的k元子集共有个，k=1,2,…,10，因此，A的子集的元素个数之和为10×2⁹。
    6．容斥原理。
    例6 由数字1，2，3组成n位数(n≥3)，且在n位数中，1，2，3每一个至少出现1次，问：这样的n位数有多少个？
    [解] 用I表示由1，2，3组成的n位数集合，则|I|=3ⁿ，用A¹，A²，A³分别表示不含1，不含2，不含3的由1，2，3组成的n位数的集合，则|A₁|=|A₂|=|A₃|=2ⁿ，|A₁A₂|=|A₂A₃|=|A₁A₃|=1。|A₁A₂A₃|=0。
    所以由容斥原理|A₁A₂A₃|==3×2ⁿ-3.所以满足条件的n位数有|I|-|A₁A₂A₃|=3ⁿ-3×2ⁿ+3个。
    7．递推方法。
    例7 用1，2，3三个数字来构造n位数，但不允许有两个紧挨着的1出现在n位数中，问：能构造出多少个这样的n位数？
    [解] 设能构造a_n个符合要求的n位数，则a₁=3，由乘法原理知a₂=3×3-1=8.当n≥3时：1）如果n位数的第一个数字是2或3，那么这样的n位数有2a_n-1；2）如果n位数的第一个数字是1，那么第二位只能是2或3，这样的n位数有2a_n-2，所以a_n=2(a_n-1+a_n-2)(n≥3).这里数列{a_n}的特征方程为x²=2x+2，它的两根为x₁=1+,x₂=1-,故a_n=c₁(1+)ⁿ+ c₂(1+)ⁿ,由a₁=3,a₂=8得，所以
    8．算两次。
    例8 m,n,r∈N₊，证明：   ①
    [证明] 从n位太太与m位先生中选出r位的方法有种；另一方面，从这n+m人中选出k位太太与r-k位先生的方法有种，k=0,1,…,r。所以从这n+m人中选出r位的方法有种。综合两个方面，即得①式。
    9．母函数。
    例9 一副三色牌共有32张，红、黄、蓝各10张，编号为1，2，…，10，另有大、小王各一张，编号均为0。从这副牌中任取若干张牌，按如下规则计算分值：每张编号为k的牌计为2^k分，若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数。
    [解] 对于n∈{1,2,…,2004},用a_n表示分值之和为n的牌组的数目，则a_n等于函数f(x)=(1+)²?(1+)³????…?(1+)³的展开式中xⁿ的系数（约定|x|<1），由于f(x)=[ (1+)(1+)?…?(1+)]³=³=³。
    而0≤2004<2¹¹，所以a_n等于的展开式中xⁿ的系数，又由于=?=(1+x²+x³+…+x2k+…)[1+2x+3x²+…+(2k+1)x^2k+…],所以x^2k在展开式中的系数为a_2k=1+3+5++(2k+1)=(k+1)²,k=1,2,…,从而，所求的“好牌”组的个数为a₂₀₀₄=1003²=1006009.
    10．组合数的性质。
    例10   证明：是奇数(k≥1).
    [证明] =令i=?p_i(1≤i≤k)，p_i为奇数，则，它的分子、分母均为奇数，因是整数，所以它只能是若干奇数的积，即为奇数。
    例11 对n≥2,证明：
    [证明] 1）当n=2时，2²<=6<4²；2）假设n=k时，有2^k<<4^k,当n=k+1时，因为
    又<4，所以2^k+1<.
    所以结论对一切n≥2成立。
    11．二项式定理的应用。
    例12 若n∈N, n≥2，求证：
    [证明] 首先其次因为，所以 2+得证。
    例13 证明：
    [证明] 首先，对于每个确定的k，等式左边的每一项都是两个组合数的乘积，其中是(1+x)^n-k的展开式中x^m-h的系数。是(1+y)^k的展开式中y^k的系数。从而?就是(1+x)^n-k?(1+y)^k的展开式中x^m-hy^h的系数。
    于是，就是展开式中x^m-hy^h的系数。
    另一方面，== ?=(x^k-1+x^k-2y+…+y^k-1)，上式中，x^m-hy^h项的系数恰为。
    所以
    12．概率问题的解法。
    例14 如果某批产品中有a件次品和b件正品，采用有放回的抽样方式从中抽取n件产品，问：恰好有k件是次品的概率是多少？
    [解] 把k件产品进行编号，有放回抽n次，把可能的重复排列作为基本事件，总数为(a+b)ⁿ（即所有的可能结果）。设事件A表示取出的n件产品中恰好有k件是次品，则事件A所包含的基本事件总数为?a^kb^n-k，故所求的概率为p(A)=
    例15 将一枚硬币掷5次，正面朝上恰好一次的概率不为0，而且与正面朝上恰好两次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。
    [解] 设每次抛硬币正面朝上的概率为p，则掷5次恰好有k次正面朝上的概率为(1-p)^5-k(k=0,1,2,…,5)，由题设，且0<p<1，化简得，所以恰好有3次正面朝上的概率为
    例16 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问：在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？
    [解] （1）如果采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：A₁—2：0（甲净胜二局），A₂—2：1（前二局甲一胜一负，第三局甲胜）. p(A₁)=0.6×0.6=0.36,p(A₂)=×0.6×0.4×0.6=0.288.
    因为A₁与A₂互斥，所以甲胜概率为p(A₁+A₂)=0.648.
    (2)如果采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜：B₁—3：0（甲净胜3局），B²—3：1（前3局甲2胜1负，第四局甲胜），B₃—3：2（前四局各胜2局，第五局甲胜）。因为B₁，B₂，B₂互斥，所以甲胜概率为p(B₁+B₂+B₃)=p(B₁)+p(B₂)+p(B₃)=0.6³+×0.6²×0.4×0.6+×0.6²×0.4²×0.6=0.68256.
    由（1），（2）可知在五局三胜制下，甲获胜的可能性大。
    例17 有A，B两个口袋，A袋中有6张卡片，其中1张写有0，2张写有1，3张写有2；B袋中有7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2。从A袋中取出1张卡片，B袋中取2张卡片，共3张卡片。求：（1）取出3张卡片都写0的概率；（2）取出的3张卡片数字之积是4的概率；（3）取出的3张卡片数字之积的数学期望。
    [解]（1）；（2）；（3）记ξ为取出的3张卡片的数字之积，则ξ的分布为

ξ	0	2	4	8
p

    所以
    三、基础训练题
    1．三边长均为整数且最大边长为11的三角形有_________个。
    2．在正2006边形中，当所有边均不平行的对角线的条数为_________。
    3．用1，2，3，…，9这九个数字可组成_________个数字不重复且8和9不相邻的七位数。
    4．10个人参加乒乓球赛，分五组，每组两个人有_________种分组方法。
    5．以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_________。
    6．今天是星期二，再过10¹⁰⁰⁰天是星期_________。
    7．由展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有_________项。
    8．如果凸n边形(n≥4)的任意三条对角线不共点，那么这些对角线在凸n边形内共有_________个交点。
    9．袋中有a个黑球与b个白球，随机地每次从中取出一球（不放回），第k(1≤k≤a+b)次取到黑球的概率为_________。
    10．一个箱子里有9张卡片，分别标号为1，2，…，9，从中任取2张，其中至少有一个为奇数的概率是_________。
    11．某人拿着5把钥匙去开门，有2把能打开。他逐个试，试三次之内打开房门的概率是_________。
    12．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，要将其中三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数是_________。
    13．a,b,c,d,e五个人安排在一个圆桌周围就坐，若a,b不相邻有_________种安排方式。
    14．已知i,m,n是正整数，且1<i≤m≤n。证明：（1）；（2）(1+m)ⁿ>(1+n)^m.
    15.一项“过关游戏”规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所得到的点数之和大于2ⁿ，则算过关。问：（1）某人在这项游戏中最多能过几关？（2）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体）
    四、高考水平训练题
    1．若n∈{1,2,…,100}且n是其各位数字和的倍数，则这种n有__________个。
    2．从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取3个不同元素作为二次函数y=ax²+bx+c的系数，能组成过原点，且顶点在第一或第三象限的抛物线有___________条。
    3．四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中任取4个不共面的点，有_________种取法。
    4．三个人传球，从甲开始发球，每次接球后将球传给另外两人中的任意一个，经5次传球后，球仍回到甲手中的传法有_________种。
    5．一条铁路原有m个车站（含起点，终点），新增加n个车站（n>1），客运车票相应地增加了58种，原有车站有_________个。
    6．将二项式的展开式按降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项有_________个。
    7．从1到9这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数，共可得到_________种不同的对数值。
    8．二项式(x-2)⁵的展开式中系数最大的项为第_________项，系数最小的项为第_________项。
    9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根被划分成长度相同的5节，每节用红、黄、蓝三色之一涂色，可以有_________种颜色不同的圆棒？（颠倒后相同的算同一种）
    10．在1，2，…，2006中随机选取3个数，能构成递增等差数列的概率是_________。
    11．投掷一次骰子，出现点数1，2，3，…，6的概率均为，连续掷6次，出现的点数之和为35的概率为_________。
    12．某列火车有n节旅客车厢，进站后站台上有m(m≥n)名旅客候车，每位旅客随意选择车厢上车，则每节车厢都有旅客上车的概率是_________。
    13．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产=）
    五、联赛一试水平训练题
    1．若0<a<b<c<d<500，有_________个有序的四元数组（a,b,c,d）满足a+d=b+c且bc-ad=93.
    2.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线倾斜角为锐角，这样的直线条数是_________。
    3．已知A={0，1，2，3，4，5，6，7}，映射f:A→A满足：（1）若i≠j，则f(i)≠f(j)；（2）若i+j=7，则f(i)+f(j)=7，这样的映射的个数为_________。
    4．1，2，3，4，5的排列a₁,a₂,a₃,a₄,a₅具有性质：对于1≤i≤4,a₁,a₂,…,a_i不构成1，2，…，i的某个排列，这种排列的个数是_________。
    5．骰子的六个面标有1，2，…，6这六个数字，相邻两个面上的数字之差的绝对值叫变差，变差的总和叫全变差V，则全变差V的最大值为_________，最小值为_________。
    6．某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行50场，上述三名选手之间比赛场数为_________。
    7．如果a,b,c,d都属于{1,2,3,4}且a≠b,b≠c,c≠d, d≠a；且a是a,b,c,d中的最小值，则不同的四位数的个数为_________。
    8．如果自然数a各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”，将所有的吉祥数从小到大排成一列a₁,a₂,a₃,…,若a_n=2005，则a_n=_________。
    9．求值：=_________。
    10．投掷一次骰子，出现点数1，2，…，6的概率均为，连续掷10次，出现的点数之和是30的概率为_________。
    11．将编号为1，2，…，9这九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球，设周围上所有相邻两球的号码之差的绝对值之和为S，求S达到最小值的放法的概率（注：如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一放法重合，则认为是相同的放法）。
    12．甲、乙两人轮流向同一目标射击，第一次甲射击，以后轮流射击，甲每次击中的概率为p(0<p<1)，乙每次击中的概率为q(0<q<1)，求甲、乙首先击中的概率各是多少？
    13．设m,n∈N,0<m≤n，求证：…+
    六、联赛二试水平训练题
    1．100张卡片上分别写有数字1到100，一位魔术师把这100张卡片放入颜色分别是红色、白色、蓝色的三个盒子里，每个盒子里至少放入一张卡片。
    一位观众从三个盒子中挑出两个，并从中各选取一张卡片，然后宣布这两张卡片上的两个数的和数，魔术师知道这个和数之后，便能够指出哪一个是没有被观众取出卡片的盒子。问：共有多少种放卡片的方法，使得这个魔术师总能够成功？（如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子，两种方法被认为是不同的）
    2．设S={1,2,…,10}，A₁，A₂，…，A_k是S的k个子集合，满足：（1）|A_i|=5,i=1,2,…,k;（2）|A_iA_j|≤2,1≤i<j≤k，求k的最大值。
    3．求从集合{1,2,…,n}中任取满足下列条件的k个数{j₁,j₂,…,j_k}的组合数；（1）1≤j₁<j₂<…<j_k≤n；（2）j_h+1-jh≥m,h=1,2,…,k-1,其中m>1为固定的正整数；（3）存在h₀,1≤h₀≤k-1，使得≥m+1.
    4.设,其中S₁，S₂，…，S_m都是正整数且S₁<S₂<…<S_m，求证组合数中奇数的个数等于2^m。
    5．个不同的数随机排成图13-2所示的三角形阵，设M_k是从上往下第k行中的最大数，求M₁<M₂<…<M_n的概率。
    6．证明：

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