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2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷及详细答案 (考试时间:2010年9月4日9：00—11：30) 注意： 1.本试卷共12小题，满分150分； 2.用钢笔、圆珠笔或签字笔作答； 3.书写不要超过装订线； 4.不能使用计算器. 一、填空题（每小题8分，共64分） 1.函数  的值域是__________________________.2.函数  _____________________的图象与 的图象关于直线 对称.3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于__________________________. 4.设椭圆  与双曲线 相切，则 __________________________.5.设  是复数，则 的最小值等于__________________________.6.设  ， ， 是实数，若方程 的三个根构成公差为1的等差数列，则，，应满足的充分必要条件是__________________________.7.设  是 的内心， ， ， ， ， ，动点 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于________________________.8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是__________________. 二、解答题（共86分） 9.（20分）设数列  满足 ， ， .求 的通项公式.10.（22分）求最小正整数  使得 可被2010整除.11.（22分）已知 的三边长度各不相等， ， ， 分别是 ， ， 的平分线与边 ， ， 的垂直平分线的交点.求证：的面积小于 的面积.12.（22分）桌上放有 根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多 根火柴，此后每人每次至少取走 根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当 时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷 参考答案及评分标准 一、填空题（每小题8分，共64分） 1.答案：  .提示：因  ，设 （ ），则 （其中 ， ， 为锐角），所以当 时， ，当 时， ，故 .2. 答案：  提示：因两函数图象关于直线 对称，所以 ， ，∴ ，解得 .3. 答案：  提示：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所以任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角  的两倍.∵ ，∴ ，则 . 4. 答案：  提示：由椭圆方程 知， ，设其参数方程为 （ 为参数）代入双曲线方程，得 .因两曲线相切，∴  ，故 .5. 答案：  提示：在复平面上，设  ， ， ，则当 为的费马点时，取得最小值，最小值为 .6. 答案：  且 .提示：设三个根为  ，， ，则 ，右边展开与左边比较得  ， ， ，消去得 ，这就是所求的充要条件.7. 答案：  提示：如图，根据向量加法的几何意义，知点 在图中的三个平形四边形及其内部运动，所以动点的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于面积的2倍，即. 8. 答案：  提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有  个三角形，其中直角三角形有 个，所求“构成直角三角形”的概率是 .二、解答题（共86分） 9. 解：特征根法. 又  ， ，…………（10分）得  ，于是  .………………（20分）10. 解：    …………（10分） 又  或 ， ， 或 ，故所求最小正整数  .…………（22分）11. 证明：由题设可证  ，  ，，，六点共圆. …………（10分）不妨设圆半径为1，则有  ， .由于      ∴ 的面积小于的面积. …………（22分）12. 解：把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目 从小到大排序为： ， ， ，…，不难发现其前4项分别为2，3，5，8.下面我们用数学归纳法证明： （1）  满足 ；（2）当  时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙此时所取的火柴数目 ；（3）当  时，甲总可取到最后一根火柴，并且甲此时所取的火柴数目 .……………………………………（10分） 设  （ ），注意到 .当  时，甲第一次时可取 根火柴，剩余 根火柴，乙无法获胜.当  时， ，根据归纳假设，甲可以取到第根火柴，并且甲此时所取的火柴数目 ，剩余 根火柴，乙无法获胜.当  时，设甲第一次时取走 根火柴，若 ，则乙可取走所有剩小的火柴；若 ，则根据归纳假设，乙总可以取到第根火柴，并且乙此时所取的火柴数目，剩余根火柴，甲无法获胜.综上可知， .因为100不在数列 ，所以当时，甲有获胜策略. …………（22分）(责任编辑：admin) |