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2007年上海市高中数学竞赛试卷 一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分） 1． 方程  的实数解 _______________．2． 有一条长度为  的线段 ，其端点 ， 在边长为 的正方形 的四边上滑动，当绕着正方形的四边滑动一周时，的中点 所形成的轨迹的长是_______________． 3． 复数数列  满足 ，  （ ，为虚数单位），则它的前 项的和为_______________．4． 已知  是大小为 的二面角， 为二面角内一定点，且到半平面 和 的距离分别为 和 ， ， 分别是半平面，内的动点，则 周长的最小值为_______________．5． 已知平面直角坐标系中点与点的对应法则   ．若一段曲线在对应法则 下对应椭圆的一段弧 ，则这段曲线的方程是________________．6． 已知  ，计算： _______________．7． 已知数列  满足 ， ， ，则数列的通项公式 _______________．8． 已知圆 ： ，过 轴上的点 存在圆的割线 ，使得 ，则点 的横坐标 的取值范围是_______________．二、解答题 9．（本题满分14分）对任意正整数  ，用 表示满足不定方程 的正整数对 的个数，例如，满足 的正整数对有 ， ， 三个，则 ．求出使得 的所有正整数．10． （本题满分14分）已知关于 的方程 有三个正实根，求 的最小值．11． （本题满分16分）已知抛物线  ， 是过焦点的弦，如果与轴所成的角为 ，求 ． 12． （本题满分16分）求满足如下条件的最小正整数 ，在圆周上任取个点 ， ，…， ，则在 个角 中，至少有个不超过 ．2007年上海市高中数学竞赛试卷参考答案 1. (2,8,18) 2.  3. –1003+2 i 4.  5.   6.   7.  8  9.  或者  或者  或者   10  11.  12 91 (责任编辑：admin) |